(2,4) Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
e) Se F(x, y, z)=7 y^4 z^3 i-8 x^3 z^6 j-3 x y^5 k então div F=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a divergência do campo vetorial F(x, y, z) = 7 y^4 z^3 i - 8 x^3 z^6 j - 3 x y^5 k é igual a zero. Então, o conteúdo envolvido aqui é o cálculo da divergência de um campo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a divergência de um vetor, que basicamente envolve derivar cada componente do vetor em relação à sua variável correspondente e somar tudo no final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da divergência de um campo vetorial F = Fx i + Fy j + Fz k. A divergência é dada por:
div F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Vamos identificar cada componente do nosso campo vetorial F:
  • Fx = 7 y^4 z^3
  • Fy = -8 x^3 z^6
  • Fz = -3 x y^5

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada parcial individualmente.
Primeiro, a derivada de Fx em relação a x:
partial Fxpartial x = partialpartial x (7 y^4 z^3) = 0
Porque 7 y^4 z^3 não depende de x, a derivada é zero.

Passo 4

Em seguida, a derivada de Fy em relação a y:
partial Fypartial y = partialpartial y (-8 x^3 z^6) = 0
Assim como antes, -8 x^3 z^6 não depende de y, então a derivada também é zero.

Passo 5

Por último, a derivada de Fz em relação a z:
partial Fzpartial z = partialpartial z (-3 x y^5) = 0
Novamente, -3 x y^5 não depende de z, então essa derivada é zero também.

Resposta

Somando todas as derivadas parciais:
div F = 0 + 0 + 0 = 0
Portanto, a afirmação é Verdadeira (V).

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