(2,4) Classifique em verdadeiro (V) ou falso ( F ). Justifique sua resposta.
d) Se F(x, y)=a y i+(b-1) x j é conservativo então a=b-1.

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para classificar como verdadeiro (V) ou falso (F) a afirmação: “Se F(x, y)=a y i+(b-1) x j é conservativo então a=b-1.” Estamos trabalhando com campos vetoriais conservativos, que pertencem ao estudo de Cálculo Vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo F = P i + Q j é conservativo se existe uma função potencial phi(x, y) tal que F = nabla phi, ou seja, P = partial phipartial x e Q = partial phipartial y. Uma condição importante para que um campo seja conservativo é que a derivada cruzada seja igual, ou seja:
partial Qpartial x = partial Ppartial y

Passo 3

Vamos aplicar essa condição ao campo dado:
P = a y Q = (b-1) x
Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = b - 1 partial Ppartial y = a

Passo 4

Para que o campo seja conservativo, deve-se ter:
partial Qpartial x = partial Ppartial y b - 1 = a

Passo 5

A afirmação apresentada na questão é: “Se F é conservativo então a = b - 1.” De acordo com nosso cálculo, para que o campo seja conservativo, realmente precisamos que a = b - 1.

Resposta

Verdadeiro (V).

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