Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(f) (x-1)/(x^2-1)>1 <=> x-1>x^2-1. para todo x > 1 e x < -1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação que diz que a fração é maior que 1 se e somente se x - 1 for maior que x^2 - 1, válido para todos os valores de x onde e . Vamos analisar se isso é Verdadeiro (V) ou Falso (F).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a inequação significa. Para resolver isso, precisamos manipular a inequação de forma a simplificar a expressão.
Sabemos que pode ser fatorado como .
Então, a fração fica:
desde que x != 1 e (para evitar divisão por zero).
Agora, nossa inequação é:

Passo 3

Para resolver , vamos subtrair 1 dos dois lados:
Agora, a inequação é . Queremos saber para quais valores de x essa fração é positiva.

Passo 4

Uma fração é positiva quando o numerador e o denominador têm o mesmo sinal. Então, vamos analisar os sinais de -x e .
  1. Se , então .
    • Nesse caso, se .
    Portanto, para , a fração é positiva.
  2. Se , então .
    • Nesse caso, se , mas como , isso não ocorre.
    Portanto, para , a fração é negativa.

Passo 5

Agora, vamos comparar com a afirmação original: .
Simplificando:
Isso significa que , ou seja, .
Isso ocorre quando .

Passo 6

Agora, vamos comparar os intervalos onde cada inequação é verdadeira:
  • é verdadeira para .
  • é verdadeira para .
Observamos que não há sobreposição nos intervalos onde ambas as condições são verdadeiras simultaneamente.

Resposta

Falso (F). A equivalência não se mantém nos intervalos especificados, pois as soluções das inequações não coincidem.

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