Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(f)
. para todo
e
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação que diz que a fração
é maior que 1 se e somente se
for maior que
, válido para todos os valores de
onde
e
. Vamos analisar se isso é Verdadeiro (V) ou Falso (F).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a inequação
significa. Para resolver isso, precisamos manipular a inequação de forma a simplificar a expressão.
Sabemos que
pode ser fatorado como
.
Então, a fração fica:
desde que
e
(para evitar divisão por zero).
Agora, nossa inequação é:
Passo 3
Para resolver
, vamos subtrair 1 dos dois lados:
Agora, a inequação é
. Queremos saber para quais valores de
essa fração é positiva.
Passo 4
Uma fração é positiva quando o numerador e o denominador têm o mesmo sinal. Então, vamos analisar os sinais de
e
.
-
Se
, então . - Nesse caso,
se .
Portanto, para, a fração é positiva. - Nesse caso,
-
Se
, então . - Nesse caso,
se , mas como , isso não ocorre.
Portanto, para, a fração é negativa. - Nesse caso,
Passo 5
Agora, vamos comparar com a afirmação original:
.
Simplificando:
Isso significa que
, ou seja,
.
Isso ocorre quando
.
Passo 6
Agora, vamos comparar os intervalos onde cada inequação é verdadeira:
-
é verdadeira para . -
é verdadeira para .
Observamos que não há sobreposição nos intervalos onde ambas as condições são verdadeiras simultaneamente.
Resposta
Falso (F). A equivalência não se mantém nos intervalos especificados, pois as soluções das inequações não coincidem.
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(d) .
(d)
Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(e) .
(e)
Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(g) .
(g)
Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(h)
(h)