Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(e) (x-1)/(x^2+3) > 1 <-> x-1 > x^2+3, para todo x em R.

Passo 1

Vamos analisar a sentença:
Aqui, estamos lidando com inequações racionais e propriedades básicas de desigualdades. Vamos verificar se essa equivalência é verdadeira para todo número real .

Passo 2

Primeiro, observamos o denominador da fração . O termo é sempre positivo para qualquer , pois e acrescentando 3, garantimos que .

Passo 3

Como o denominador é positivo, podemos multiplicar ambos os lados da inequação sem alterar o sentido da desigualdade:
Essa operação é válida porque multiplicar ou dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo não muda a direção da desigualdade.

Passo 4

Portanto, a equivalência apresentada:
é verdadeira para todo , já que não houve necessidade de alterar o sentido da desigualdade durante a manipulação.

Resposta

Verdadeiro. A inequação é equivalente a para todo real.

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