Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(b)
.
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado da questão. A sentença que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com desigualdades envolvendo quadrados de números reais. Para resolver isso, precisamos entender como os quadrados afetam a relação entre
e
.
Passo 2
Vamos analisar o que significa
. Quando elevamos um número ao quadrado, o resultado é sempre não negativo, independentemente do sinal original de
ou
. Ou seja, tanto
quanto
podem ser positivos ou negativos, mas seus quadrados serão sempre positivos ou zero.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se
sempre implica que
. Para isso, vamos considerar diferentes casos de valores para
e
:
-
Caso 1:
e são positivos. - Se
, então é verdadeiro.
- Se
-
Caso 2:
e são negativos. - Se
(lembrando que números negativos maiores têm valores absolutos menores), então é verdadeiro, mas é falso.
- Se
-
Caso 3: Um é positivo e o outro é negativo.
- Se
é positivo e é negativo, é sempre verdadeiro, mas depende dos valores específicos. - Se
é negativo e é positivo, é sempre falso, mas também depende dos valores.
- Se
Passo 4
Vamos exemplificar com um contraexemplo para ver se a implicação sempre vale:
- Exemplo: Seja
e . - Calculando os quadrados:
e . Então, , ou seja, é verdadeiro. - Mas, olhando os valores originais:
, então é falso.
- Calculando os quadrados:
Passo 5
Esse contraexemplo mostra que mesmo quando
é verdadeiro,
pode ser falso. Portanto, a implicação não é válida para todos os números reais.
Resposta
Falso (F). A afirmação
nem sempre é verdadeira para todos os
.
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Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(a) .
(a)
Calcule os limites laterais indicados: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{|x|}
Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
© .
©
Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(e) .
(e)