Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(b) .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado da questão. A sentença que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com desigualdades envolvendo quadrados de números reais. Para resolver isso, precisamos entender como os quadrados afetam a relação entre e .

Passo 2

Vamos analisar o que significa . Quando elevamos um número ao quadrado, o resultado é sempre não negativo, independentemente do sinal original de ou . Ou seja, tanto quanto podem ser positivos ou negativos, mas seus quadrados serão sempre positivos ou zero.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se sempre implica que . Para isso, vamos considerar diferentes casos de valores para e :
  1. Caso 1: e são positivos.
    • Se , então é verdadeiro.
  2. Caso 2: e são negativos.
    • Se (lembrando que números negativos maiores têm valores absolutos menores), então é verdadeiro, mas é falso.
  3. Caso 3: Um é positivo e o outro é negativo.
    • Se é positivo e é negativo, é sempre verdadeiro, mas depende dos valores específicos.
    • Se é negativo e é positivo, é sempre falso, mas também depende dos valores.

Passo 4

Vamos exemplificar com um contraexemplo para ver se a implicação sempre vale:
  • Exemplo: Seja e .
    • Calculando os quadrados: e . Então, , ou seja, é verdadeiro.
    • Mas, olhando os valores originais: , então é falso.

Passo 5

Esse contraexemplo mostra que mesmo quando é verdadeiro, pode ser falso. Portanto, a implicação não é válida para todos os números reais.

Resposta

Falso (F). A afirmação nem sempre é verdadeira para todos os .

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Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(a) .
Calcule os limites laterais indicados: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{|x|}
Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
© .
Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(e) .