Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
© .

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: para todo . Aqui, estamos lidando com desigualdades envolvendo números reais. Para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa, vamos precisar usar propriedades básicas de álgebra e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender o que a desigualdade está nos dizendo. Ela relaciona o produto de dois números e com a média aritmética deles. Queremos saber se, independentemente dos valores que e assumirem, o produto sempre será menor ou igual à média.

Passo 3

Vamos testar alguns valores específicos para ver se a desigualdade se mantém. Por exemplo, se escolhermos e :
Aqui, não é menor ou igual a , o que já sugere que a afirmação pode ser falsa.

Passo 4

Para confirmar, vamos tentar expressar a desigualdade de outra forma. Se rearranjarmos a desigualdade , podemos multiplicar ambos os lados por 2 (lembrando que isso não altera a direção da desigualdade):
Subtraindo de ambos os lados:
Isso não é verdadeiro para todos os valores de e . Por exemplo, como vimos anteriormente com e , a desigualdade não se mantém.

Resposta

Falso. A desigualdade nem sempre é verdadeira para todos os números reais e .

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Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(b) .
Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(a) .
Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(e) .
Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(d) .