Determine os focos, os vértices e esboce as elipses cujas equações são:
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma equação de uma elipse:
. A matéria que vamos usar é o estudo das elipses na geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os focos, os vértices e esboçar a forma da elipse a partir da sua equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma geral de uma elipse é
, onde
e
são os semi-eixos maior e menor, respectivamente. No nosso caso, a equação
pode ser reescrita como
.
Passo 3
Agora, identificamos
e
. Portanto,
e
. Como
, sabemos que o eixo maior está na direção do eixo
.
Passo 4
Para encontrar os vértices, olhamos para os pontos mais afastados no eixo maior. Como o eixo maior está no
, os vértices são
. Então, os vértices são
e
.
Passo 5
Agora, vamos calcular os focos. A fórmula para a distância dos focos é
. Substituindo os valores que temos:
Então, os focos estão em
, ou seja,
e
.
Passo 6
Por fim, para esboçar a elipse, sabemos que ela está centrada na origem, com eixo maior no
e eixo menor no
. Os vértices são
e
, os focos estão próximos dos vértices, e os pontos mais altos e baixos no eixo menor estão em
e
.
Resposta
Os vértices da elipse são
e
. Os focos estão em
e
. A elipse está centrada na origem, com eixo maior no
e eixo menor no
, conforme descrito.