Determine os focos, os vértices e esboce as elipses cujas equações são: x^2+2 y^2=1.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação de uma elipse: . A matéria que vamos usar é o estudo das elipses na geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os focos, os vértices e esboçar a forma da elipse a partir da sua equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma geral de uma elipse é , onde e são os semi-eixos maior e menor, respectivamente. No nosso caso, a equação pode ser reescrita como .

Passo 3

Agora, identificamos e . Portanto, e . Como , sabemos que o eixo maior está na direção do eixo .

Passo 4

Para encontrar os vértices, olhamos para os pontos mais afastados no eixo maior. Como o eixo maior está no , os vértices são . Então, os vértices são e .

Passo 5

Agora, vamos calcular os focos. A fórmula para a distância dos focos é c = raiz1 - 12 = raiz12 = raiz22 . Substituindo os valores que temos:
Então, os focos estão em , ou seja, e .

Passo 6

Por fim, para esboçar a elipse, sabemos que ela está centrada na origem, com eixo maior no e eixo menor no . Os vértices são e , os focos estão próximos dos vértices, e os pontos mais altos e baixos no eixo menor estão em e .

Resposta

Os vértices da elipse são e . Os focos estão em e . A elipse está centrada na origem, com eixo maior no e eixo menor no , conforme descrito.

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