Sejam e bases ordenadas de tais que .
(a) Seja u in R^3 tal que [u]beta=[l1 2 3]. Determine [u]alpha.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases ordenadas α e β para o espaço ℝ³, e foi dado o matriz de mudança de coordenadas de α para β, que é:
[I]alpha^beta = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1
A questão pede para a gente descobrir as coordenadas de um vetor [u]beta = 1 2 3 na base α, sabendo que as coordenadas de na base β são:
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e como utilizar a matriz de transição entre as bases α e β.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a matriz nos ajuda a converter as coordenadas de um vetor da base α para a base β. Mas a gente quer o contrário: converter as coordenadas de β para α. Para isso, precisamos da matriz inversa dessa matriz de transição.
Então, vamos encontrar a inversa de , que é . Essa matriz vai permitir que a gente converta para .
Passo 3
Vamos calcular a inversa de [I]alpha^beta = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 . A matriz dada é:
[I]beta^alpha = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 1 & -1
Para encontrar a inversa, podemos usar o método de adjunta ou uma calculadora de matrizes, mas aqui vamos fazer passo a passo utilizando a regra de Sarrus ou o método de cofactores.
Após calcular, encontramos que:
Passo 4
Agora que temos [u]alpha = [I]beta^alpha cdot [u]beta = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 1 & -1 cdot 1 2 3 , podemos calcular multiplicando essa matriz pelas coordenadas de na base β: