Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
d) Se F(x, y) = a y i + b x j é conservativo então a = b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta está pedindo para dizer se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). O enunciado fala sobre um campo vetorial F(x, y) = a y i + b x j e quer saber se, quando esse campo é conservativo, então necessariamente a tem que ser igual a b. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e quais são as condições para que um campo seja conservativo.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função potencial. Isso significa que o trabalho realizado pelo campo em qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.

Passo 3

Uma das maneiras de verificar se um campo vetorial é conservativo é checando se a derivada cruzada das componentes do campo é igual. Em duas dimensões, isso se traduz na condição de que a derivada parcial da componente de em relação a y deve ser igual à derivada parcial da componente de em relação a x.

Passo 4

Vamos aplicar isso ao nosso campo F(x, y) = a y i + b x j. A componente , então a derivada parcial de em relação a y é:
Já a componente , então a derivada parcial de em relação a x é:

Passo 5

Para que o campo seja conservativo, essas duas derivadas devem ser iguais. Ou seja:
Isso mostra que, de fato, para o campo F(x, y) ser conservativo, os coeficientes a e b precisam ser iguais.

Resposta

A afirmação é Verdadeira (V), pois para o campo vetorial F(x, y) = a y i + b x j ser conservativo, é necessário que .

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