Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
d) Se
é conservativo então
.
d) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta está pedindo para dizer se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). O enunciado fala sobre um campo vetorial
e quer saber se, quando esse campo é conservativo, então necessariamente
tem que ser igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e quais são as condições para que um campo seja conservativo.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função potencial. Isso significa que o trabalho realizado pelo campo em qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.
Passo 3
Uma das maneiras de verificar se um campo vetorial é conservativo é checando se a derivada cruzada das componentes do campo é igual. Em duas dimensões, isso se traduz na condição de que a derivada parcial da componente de
em relação a
deve ser igual à derivada parcial da componente de
em relação a
.
Passo 4
Vamos aplicar isso ao nosso campo
. A componente
, então a derivada parcial de
em relação a
é:
Já a componente
, então a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 5
Para que o campo seja conservativo, essas duas derivadas devem ser iguais. Ou seja:
Isso mostra que, de fato, para o campo
ser conservativo, os coeficientes
e
precisam ser iguais.
Resposta
A afirmação é Verdadeira (V), pois para o campo vetorial
ser conservativo, é necessário que
.
Exercícios relacionados
En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio:
Evalúe la integral definida:
Hallar una primitiva de cada una de las siguientes funciones:
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
e) Se então
.
e) Se