Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
d) Se é conservativo então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta está pedindo para dizer se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). O enunciado fala sobre um campo vetorial e quer saber se, quando esse campo é conservativo, então necessariamente tem que ser igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e quais são as condições para que um campo seja conservativo.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função potencial. Isso significa que o trabalho realizado pelo campo em qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.

Passo 3

Uma das maneiras de verificar se um campo vetorial é conservativo é checando se a derivada cruzada das componentes do campo é igual. Em duas dimensões, isso se traduz na condição de que a derivada parcial da componente de em relação a deve ser igual à derivada parcial da componente de em relação a .

Passo 4

Vamos aplicar isso ao nosso campo . A componente , então a derivada parcial de em relação a é:
Já a componente , então a derivada parcial de em relação a é:

Passo 5

Para que o campo seja conservativo, essas duas derivadas devem ser iguais. Ou seja:
Isso mostra que, de fato, para o campo ser conservativo, os coeficientes e precisam ser iguais.

Resposta

A afirmação é Verdadeira (V), pois para o campo vetorial ser conservativo, é necessário que .

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En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio:
Evalúe la integral definida:
Hallar una primitiva de cada una de las siguientes funciones:
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
e) Se então .