En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio: integral-2^-1 8 x^-3 d x

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de no intervalo de a e encontrar um número nesse intervalo que satisfaça o Teorema do Valor Médio. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e aplicação do teorema que relaciona a média de uma função com seu valor em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral definida de de a . A integral de uma função pode ser encontrada usando a regra da potência para integrais.

Passo 3

A regra da potência diz que:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C (onde n neq -1)
Aplicando essa regra à nossa função:
integral 8x^-3 dx = 8 integral x^-3 dx = 8 ( x^-2-2 ) + C = -4x^-2 + C = -4x^2 + C

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida de integral-2^-1 8x^-3 dx = [ -4x^2 ]-2^-1 = -4(-1)^2 - ( -4(-2)^2 ) a -41 - ( -44 ) = -4 + 1 = -3 :
Calculando os valores:
Então, a integral vale .

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio para integrais. Esse teorema nos garante que existe um ponto integrala^b f(x) dx = f(c) cdot (b - a) no intervalo -3 = 8c^-3 cdot 1 implies 8c^-3 = -3 tal que:
No nosso caso, , e . Sabemos que a integral vale e . Então:

Passo 6

Vamos resolver para 8c^-3 = -3 implies c^-3 = -38 implies c^3 = -83 :
c = raiz[3]-83 = -raiz[3]83 = -2raiz[3]3 approx -1,442
Então,

Resposta

A integral de de a é e o número que satisfaz o Teorema do Valor Médio nesse intervalo é aproximadamente .

Exercícios relacionados