En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio:

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de no intervalo de a e encontrar um número nesse intervalo que satisfaça o Teorema do Valor Médio. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e aplicação do teorema que relaciona a média de uma função com seu valor em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral definida de de a . A integral de uma função pode ser encontrada usando a regra da potência para integrais.

Passo 3

A regra da potência diz que:
Aplicando essa regra à nossa função:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida de a :
Calculando os valores:
Então, a integral vale .

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio para integrais. Esse teorema nos garante que existe um ponto no intervalo tal que:
No nosso caso, , e . Sabemos que a integral vale e . Então:

Passo 6

Vamos resolver para :
Então,

Resposta

A integral de de a é e o número que satisfaz o Teorema do Valor Médio nesse intervalo é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Evalúe la integral definida:
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
a) ( ) é um exemplo de campo vetorial no plano .
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
d) Se é conservativo então .
Hallar una primitiva de cada una de las siguientes funciones: