Classifique os vetores abaixo em L.I. ou L.D. Justifique sua resposta. u=(2,0,1), v=(1,3,1), w=(-1,2,10)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar três vetores – u=(2,0,1), v=(1,3,1) e w=(-1,2,10) – como Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). O assunto aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre a independência linear de vetores. Para resolver isso, vamos verificar se existe uma combinação linear que satisfaça a equação au + bv + cw = 0, além da solução trivial a=b=c=0.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é combinação linear: estamos procurando coeficientes a, b e c tais que, ao multiplicarmos cada vetor por esses coeficientes e somarmos, o resultado seja o vetor nulo. Se a única solução for a=b=c=0, os vetores são L.I. Se tiver outra solução, são L.D.

Passo 3

Vamos montar o sistema de equações a partir da combinação linear:
a(2) + b(1) + c(-1) = 0 a(0) + b(3) + c(2) = 0 a(1) + b(1) + c(10) = 0
Isso resulta no seguinte sistema:
2a + b - c = 0 3b + 2c = 0 a + b + 10c = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema. Primeiro, da segunda equação: 3b + 2c = 0, podemos isolar b:
b = -23c
Substituindo b na primeira equação:
2a - 23c - c = 0 2a - 53c = 0 2a = 53c a = 56c
Agora, substituímos a e b na terceira equação:
56c - 23c + 10c = 0 56c - 46c + 10c = 0 16c + 10c = 0 616c = 0 c = 0
Então, se c=0, de b = -23c temos b=0, e de a = 56c temos a=0.

Resposta

Como a única solução do sistema é a=b=c=0, os vetores u, v e w são Linearmente Independentes (L.I.).

Exercícios relacionados

Classifique os vetores abaixo em L.I. ou L.D. Justifique sua resposta. u=(1,2,3), v=(4,5,6), w=(-1,1,1)
Sejam A=(ccc1 & 2 & 3 2 & 1 & -1), B=(ccc-2 & 0 & 1 3 & 0 & 1), C=(c-1 2 4), D=(ll-2 & 1), E=(cc1 & 0 3 & -1 4 & 2), F=(ll1 & 0 0 & 1). Calcule, quando possível:
C-D+2 E-A^T
Encontre o valor de x para que o produto das matrizes A=(cc-2 & x 3 & 1) e B=(cc1 & -1 0 & 1) seja uma matriz simétrica.
Considere os vetores u=-1 j+2 k, v=1 i+1 j-2 k e w=1 i+2 j+1 k. Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique.
(a) Os vetores u e v são li.
(b) u, v é uma base de R^3.
© O ângulo entre v e w é pi / 4.
(d) Os vetores u e v sao ortogonais.
(e) Os vetores u, v, w são ld.