Classifique os vetores abaixo em L.I. ou L.D. Justifique sua resposta. u=(1,2,3), v=(4,5,6), w=(-1,1,1)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para a gente classificar os vetores u=(1,2,3), v=(4,5,6) e w=(-1,1,1) como Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o que envolve combinação linear e determinação da independência dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa esses termos:
  • Vetores Linearmente Independentes (L.I.): Não existe nenhuma combinação linear não trivial (ou seja, com coeficientes diferentes de zero) que faça a soma desses vetores resultar no vetor zero.
  • Vetores Linearmente Dependentes (L.D.): Existe pelo menos uma combinação linear não trivial desses vetores que resulta no vetor zero.
Para verificar isso, podemos montar uma equação onde uma combinação linear dos vetores é igual ao vetor zero e ver se só a solução trivial (todos os coeficientes iguais a zero) existe.

Passo 3

Vamos montar a seguinte equação:
au + bv + cw = 0
Substituindo os vetores:
a(1,2,3) + b(4,5,6) + c(-1,1,1) = (0,0,0)
Isso gera o sistema de equações:
a + 4b - c = 0 2a + 5b + c = 0 3a + 6b + c = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de 2(-4b + c) + 5b + c = 0 -8b + 2c + 5b + c = 0 -3b + 3c = 0 -b + c = 0 c = b , 3(-3b) + 6b + b = 0 -9b + 6b + b = 0 -2b = 0 b = 0 e . Se a única solução for , os vetores são L.I. Se existir uma solução onde pelo menos um dos coeficientes não seja zero, os vetores são L.D.
Vamos resolver o sistema:
  1. Da primeira equação: .
  2. Substituindo na segunda equação:
  3. Substituindo na primeira equação: .
  4. Agora, substituindo e na terceira equação:
  5. Com , então e .

Passo 5

A única solução para o sistema é , que é a solução trivial. Isso significa que não existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero. Portanto, os vetores são Linearmente Independentes (L.I.).

Resposta

Os vetores u, v e w são Linearmente Independentes (L.I.).

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C-D+2 E-A^T
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