Classifique os vetores abaixo em L.I. ou L.D. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para a gente classificar os vetores, e como Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o que envolve combinação linear e determinação da independência dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa esses termos:
Vetores Linearmente Independentes (L.I.): Não existe nenhuma combinação linear não trivial (ou seja, com coeficientes diferentes de zero) que faça a soma desses vetores resultar no vetor zero.
Vetores Linearmente Dependentes (L.D.): Existe pelo menos uma combinação linear não trivial desses vetores que resulta no vetor zero.
Para verificar isso, podemos montar uma equação onde uma combinação linear dos vetores é igual ao vetor zero e ver se só a solução trivial (todos os coeficientes iguais a zero) existe.
Passo 3
Vamos montar a seguinte equação:
Substituindo os vetores:
Isso gera o sistema de equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de 2(-4b + c) + 5b + c = 0 -8b + 2c + 5b + c = 0 -3b + 3c = 0 -b + c = 0 c = b , 3(-3b) + 6b + b = 0 -9b + 6b + b = 0 -2b = 0 b = 0 e . Se a única solução for , os vetores são L.I. Se existir uma solução onde pelo menos um dos coeficientes não seja zero, os vetores são L.D.
Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na primeira equação: .
Agora, substituindo e na terceira equação:
Com , então e .
Passo 5
A única solução para o sistema é , que é a solução trivial. Isso significa que não existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero. Portanto, os vetores são Linearmente Independentes (L.I.).
Resposta
Os vetores u, v e w são Linearmente Independentes (L.I.).