Classifique os vetores abaixo em L.I. ou L.D. Justifique sua resposta. u=(1,2,3), v=(1,2,5), w=(6,2,3), k=(3,0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar os vetores , , e como Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear e determinantes. Precisamos verificar se algum desses vetores pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em , se tivermos mais de três vetores, eles automaticamente são Linearmente Dependentes, porque o espaço tem dimensão 3. Aqui temos quatro vetores, então já sabemos que há dependência.

Passo 3

Mas vamos entender melhor. Para verificar a dependência, vamos tentar ver se conseguimos expressar um vetor como combinação dos outros três. Vamos tentar expressar como combinação de , e .

Passo 4

Escrevemos a equação:
au + bv + cw = k
Substituindo os vetores:
a(1,2,3) + b(1,2,5) + c(6,2,3) = (3,0,0)
O que nos dá o sistema de equações:
a + b + 6c = 3 2a + 2b + 2c = 0 3a + 5b + 3c = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema, começamos pela segunda equação:
2a + 2b + 2c = 0 implies a + b + c = 0 implies a = -b - c
Substituindo (-b - c) + b + 6c = 3 implies 5c = 3 implies c = 35 na primeira equação:
a = -b - 35
Agora, substituindo 3(-b - 35) + 5b + 3(35) = 0 -3b - 95 + 5b + 95 = 0 2b = 0 implies b = 0 na expressão de :
E na terceira equação:
Então, e .

Passo 6

Encontramos que . Isso significa que pode ser escrito como combinação linear dos outros vetores, provando que eles são Linearmente Dependentes.

Resposta

Os vetores , , e são Linearmente Dependentes.

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