Determinar o ponto de interseção da reta com o Plano e pi: 2 x+4 y-z-4=0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o ponto onde a reta intercepta o plano . Isso envolve entender um pouco sobre geometria analítica, especificamente sobre retas e planos no espaço tridimensional. Vamos usar as equações paramétricas da reta e a equação do plano para achar onde elas se cruzam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que temos. A reta x = lambda y = -3 + 2lambda z = 2 - lambda está definida pelas equações paramétricas:
2x + 4y - z - 4 = 0
Aqui, é um parâmetro que varia e nos dá todos os pontos da reta .
Já o plano está definido pela equação:
O que precisamos fazer é achar o valor de que satisfaz essa equação quando substituímos , e pelas expressões da reta .
Passo 3
Vamos substituir as equações paramétricas da reta 2(lambda) + 4(-3 + 2lambda) - (2 - lambda) - 4 = 0 na equação do plano . Ou seja, vamos substituir , e por , e , respectivamente, na equa��ão do plano:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .
Passo 4
Vamos simplificar a equação passo a passo:
2lambda + 4(-3 + 2lambda) - (2 - lambda) - 4 = 0
Primeiro, multiplicamos:
2lambda - 12 + 8lambda - 2 + lambda - 4 = 0
Agora, vamos somar os termos semelhantes:
(2lambda + 8lambda + lambda) + (-12 - 2 - 4) = 0
11lambda - 18 = 0
Agora, isolamos 11lambda = 18 lambda = 1811 :
Passo 5
Com o valor de x = lambda = 1811 encontrado, podemos substituir de volta nas equações paramétricas da reta para encontrar as coordenadas y = -3 + 2(1811) = -3 + 3611 = -33 + 3611 = 311 , z = 2 - lambda = 2 - 1811 = 22 - 1811 = 411 e do ponto de interseção: