Então, a gente tem um exercício que pede para verificar se a transformação , definida por , é linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para todos os vetores e para todo escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
Aditividade:
Homogeneidade:
Passo 3
Vamos começar verificando a propriedade da aditividade. Se considerarmos dois vetores qualquer em , digamos e , então a soma desses vetores é .
Passo 4
Aplicando a transformação nesse vetor soma, temos:
Expandindo a multiplicação:
Passo 5
Agora, vamos calcular :
Então:
Passo 6
Comparando os resultados de e :
Percebe-se que tem termos a mais (), então a aditividade não é satisfeita.
Passo 7
Como a transformação não satisfaz a propriedade da aditividade, já podemos concluir que não é uma transformação linear. Não precisamos verificar a homogeneidade, pois já sabemos que a transformação falha em ser linear.