Verifique se a transformação T: R^2 longrightarrow R dada por T(x, y)=x y é linear.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para verificar se a transformação , definida por , é linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para todos os vetores e para todo escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:

Passo 3

Vamos começar verificando a propriedade da aditividade. Se considerarmos dois vetores qualquer em , digamos e , então a soma desses vetores é .

Passo 4

Aplicando a transformação T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2) cdot (y1 + y2) nesse vetor soma, temos:
(x1 + x2)(y1 + y2) = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2
Expandindo a multiplicação:

Passo 5

Agora, vamos calcular T(u) = x1 y1 :
T(v) = x2 y2
T(u) + T(v) = x1 y1 + x2 y2
Então:

Passo 6

Comparando os resultados de T(u + v) = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 e T(u) + T(v) = x1 y1 + x2 y2 :
Percebe-se que tem termos a mais ( ), então a aditividade não é satisfeita.

Passo 7

Como a transformação não satisfaz a propriedade da aditividade, já podemos concluir que não é uma transformação linear. Não precisamos verificar a homogeneidade, pois já sabemos que a transformação falha em ser linear.

Resposta

A transformação não é linear.

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Considere o seguinte sub-espaço vetorial de M2(R) :
U=(ll x & y z & t ) rvert, x-y-z=0
c) Achar uma base D de U, de tal maneira que a matriz de mudança de D para B seja:
(lll 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 0 & 3 & 1 )
Determinar o ponto de interseção da reta r com o Plano pi
r:lx=lambda y=-3+2 lambda z=2-lambda e pi: 2 x+4 y-z-4=0
Classifique os vetores abaixo em L.I. ou L.D. Justifique sua resposta. v=(1,2,-1), w=(-1,2,-4)
Classifique os vetores abaixo em L.I. ou L.D. Justifique sua resposta. u=(1,1), v=(1,0), w=(0,-1)