Considere o seguinte sub-espaço vetorial de M2(R) :
U=(ll x & y z & t ) rvert, x-y-z=0
c) Achar uma base D de U, de tal maneira que a matriz de mudança de D para B seja:
(lll 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 0 & 3 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um subespaço vetorial U = x & y z & t midd<=| x - y - z = 0 dos 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 0 & 3 & 1 matrizes com números reais, definido por:
A parte © da questão nos pede para encontrar uma base de de modo que a matriz de mudança de base de para outra base seja:
Vamos precisar entender alguns conceitos:
  • Base de um espaço vetorial: Um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço.
  • Matriz de mudança de base: Uma matriz que relaciona as coordenadas de vetores em uma base para suas coordenadas em outra base .
Vamos por partes resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o subespaço x = y + z . A condição y + z & y z & t nos dá uma relação entre os elementos da matriz. Podemos reescrever essa condição para expressar uma variável em termos das outras:
Isso significa que qualquer matriz em pode ser escrita como:
Aqui, , e são números reais livres, ou seja, podemos escolher qualquer valor para eles. Portanto, é um subespaço de dimensão 3.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma base 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 0 & 3 & 1 para D = 1 0 0 , 1 0 3 , 0 2 1 tal que a matriz de mudança de base de para seja a matriz dada. Para isso, vamos lembrar que as colunas da matriz de mudança de base representam as coordenadas dos vetores da base na base .
Assumindo que seja a base padrão de , que consiste em vetores com uma única entrada igual a 1 e as outras iguais a 0, podemos interpretar as colunas da matriz de mudança de base como os vetores de na base padrão .
A matriz de mudança de base dada é:
Isso significa que os vetores da base são:

Passo 4

Agora, precisamos associar esses vetores a matrizes em 1 0 0 . Lembrando que em 1 + 0 & 1 0 & 0 = 1 & 1 0 & 0 , uma matriz é determinada por 1 0 3 , 1 + 0 & 1 0 & 3 = 1 & 1 0 & 3 e 0 2 1 . Vamos associar cada vetor de 0 + 2 & 0 2 & 1 = 2 & 0 2 & 1 aos valores correspondentes de , e :
  1. Para :
    • Então, a matriz correspondente é:
  2. Para :
    • A matriz correspondente é:
  3. Para :
    • A matriz correspondente é:

Passo 5

Portanto, a base D = 1 & 1 0 & 0 , 1 & 1 0 & 3 , 2 & 0 2 & 1 de que atende à condição da matriz de mudança de base é o conjunto dessas três matrizes que encontramos:

Resposta

A base D = 1 & 1 0 & 0 , 1 & 1 0 & 3 , 2 & 0 2 & 1 de é:

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