Em climas com temperaturas noturnas baixas, uma maneira eficiente em termos de energia para resfriar uma casa é a instalação de um ventilador no teto da casa para puxar o ar a partir do interior da casa e descarregá-lo em um sótão ventilado. Considere uma casa cujo volume de ar no interior é de
. Se o ar da casa deve ser trocado uma vez a cada 30 minutos, determine (a) a vazão necessária do ventilador e (b) a velocidade média de descarga do ar se o diâmetro do ventilador é de 0,5m.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre ventilação em casas, que envolve um pouquinho de física, mais especificamente sobre fluxo de ar e velocidade. Precisamos descobrir duas coisas:
(a) Qual a vazão que o ventilador precisa ter para trocar o ar da casa a cada 30 minutos.
(b) Qual a velocidade média com que o ar sai do ventilador, sabendo que o diâmetro dele é de 0,5 metros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “vazão”. Vazão é a quantidade de ar que o ventilador consegue mover por unidade de tempo. No caso, queremos trocar todo o ar da casa uma vez a cada 30 minutos. A casa tem um volume de ar de
.
Passo 3
Para achar a vazão necessária, usamos a fórmula:
Onde:
- $ Q $ é a vazão,
- $ V $ é o volume de ar,
- $ t $ é o tempo.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula. Mas atenção aos tempos: o tempo está em minutos, e geralmente usamos horas para vazão. Então, 30 minutos é
horas.
Passo 5
Então, a vazão necessária do ventilador é de
.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Queremos descobrir a velocidade média do ar que sai do ventilador. Para isso, usamos a relação entre vazão (
), área da seção transversal (
) e velocidade (
):
Onde:
- $ A $ é a área pela qual o ar passa,
- $ v $ é a velocidade do ar.
Passo 7
Primeiro, precisamos achar a área da seção transversal do ventilador. Sabemos que o ventilador é circular com diâmetro de
. A área de um círculo é dada por:
Substituindo
:
(Usando
)
Passo 8
Agora, rearranjamos a fórmula para encontrar a velocidade:
Já temos
e
. Mas para facilitar, vamos converter a vazão para metros cúbicos por segundo:
Passo 9
Substituindo na fórmula da velocidade:
Resposta
(a) A vazão necessária do ventilador é de
.
(b) A velocidade média de descarga do ar é de aproximadamente
.