Em climas com temperaturas noturnas baixas, uma maneira eficiente em termos de energia para resfriar uma casa é a instalação de um ventilador no teto da casa para puxar o ar a partir do interior da casa e descarregá-lo em um sótão ventilado. Considere uma casa cujo volume de ar no interior é de 720 m^3. Se o ar da casa deve ser trocado uma vez a cada 30 minutos, determine (a) a vazão necessária do ventilador e (b) a velocidade média de descarga do ar se o diâmetro do ventilador é de 0,5m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre ventilação em casas, que envolve um pouquinho de física, mais especificamente sobre fluxo de ar e velocidade. Precisamos descobrir duas coisas:
(a) Qual a vazão que o ventilador precisa ter para trocar o ar da casa a cada 30 minutos.
(b) Qual a velocidade média com que o ar sai do ventilador, sabendo que o diâmetro dele é de 0,5 metros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “vazão”. Vazão é a quantidade de ar que o ventilador consegue mover por unidade de tempo. No caso, queremos trocar todo o ar da casa uma vez a cada 30 minutos. A casa tem um volume de ar de 720 , m^3.

Passo 3

Para achar a vazão necessária, usamos a fórmula:
Q = Vt
Onde:
  • $ Q $ é a vazão,
  • $ V $ é o volume de ar,
  • $ t $ é o tempo.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula. Mas atenção aos tempos: o tempo está em minutos, e geralmente usamos horas para vazão. Então, 30 minutos é 0,5 horas.
Q = 720 , m^30,5 , h = 1440 , m^3/h

Passo 5

Então, a vazão necessária do ventilador é de 1440 , m^3/h.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Queremos descobrir a velocidade média do ar que sai do ventilador. Para isso, usamos a relação entre vazão ( Q), área da seção transversal ( A) e velocidade ( v):
Q = A times v
Onde:
  • $ A $ é a área pela qual o ar passa,
  • $ v $ é a velocidade do ar.

Passo 7

Primeiro, precisamos achar a área da seção transversal do ventilador. Sabemos que o ventilador é circular com diâmetro de 0,5 , m. A área de um círculo é dada por:
A = pi (d2)^2
Substituindo d = 0,5 , m:
A = pi (0,52)^2 = pi (0,25)^2 = pi times 0,0625 = 0,19635 , m^2
(Usando pi approx 3,1416)

Passo 8

Agora, rearranjamos a fórmula para encontrar a velocidade:
v = QA
Já temos Q = 1440 , m^3/h e A = 0,19635 , m^2. Mas para facilitar, vamos converter a vazão para metros cúbicos por segundo:
1440 , m^3/h div 3600 , s = 0,4 , m^3/s

Passo 9

Substituindo na fórmula da velocidade:
v = 0,4 , m^3/s0,19635 , m^2 approx 2,04 , m/s

Resposta

(a) A vazão necessária do ventilador é de 1440 , m^3/h.
(b) A velocidade média de descarga do ar é de aproximadamente 2,04 , m/s.

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