Considere um rio que corre na direção de um lago a uma velocidade média de 6 m / s e vazão de 500 m^3 / s em um local 80 m acima da supéficie do lago. Determine: a) a energia mecânica total da água do rio por unidade de massa; b) e o potencial de geração de energia de todo o rio naquele local.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um rio que está indo na direção de um lago com uma velocidade média de 6 , m/s e uma vazão de 500 , m^3/s. Esse lugar está a 80 metros acima da superfície do lago. A gente precisa descobrir duas coisas:
a) A energia mecânica total da água do rio por unidade de massa.
b) O potencial de geração de energia de todo o rio naquele local.
Para resolver isso, vamos precisar entender de energia mecânica, que é a soma da energia cinética (devido ao movimento) e da energia potencial (devido à altura). Também vamos usar fórmulas de física básicas para energia e fluxo de água.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): encontrar a energia mecânica total por unidade de massa da água.
Primeiro, a energia cinética ( Ec) de um objeto em movimento é dada por:
Ec = 12 v^2
Onde v é a velocidade.
A energia potencial gravitacional ( Ep) é:
Ep = g h
Onde g é a aceleração da gravidade ( 9,8 , m/s^2) e h é a altura.
A energia mecânica total ( Em) por unidade de massa é a soma dessas duas:
Em = Ec + Ep = 12 v^2 + g h

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula:
  • Velocidade ( v) = 6 , m/s
  • Altura ( h) = 80 , m
  • g = 9,8 , m/s^2
Calculando a energia cinética:
Ec = 12 times (6)^2 = 12 times 36 = 18 , J/kg
Calculando a energia potencial:
Ep = 9,8 times 80 = 784 , J/kg
Somando as duas:
Em = 18 + 784 = 802 , J/kg

Passo 4

Agora, vamos para a parte b): determinar o potencial de geração de energia de todo o rio naquele local.
Para isso, vamos usar a vazão ( Q) do rio e a energia mecânica total por unidade de massa que acabamos de calcular.
A potência ( P) disponível é dado por:
P = dotm times Em
Onde dotm é a taxa de fluxo de massa.
Sabemos que:
dotm = rho times Q
Onde rho é a densidade da água ( 1000 , kg/m^3) e Q é a vazão.
Então:
P = rho times Q times Em

Passo 5

Substituindo os valores:
  • rho = 1000 , kg/m^3
  • Q = 500 , m^3/s
  • Em = 802 , J/kg
Calculando a potência:
P = 1000 times 500 times 802 = 401,000,000 , W
Ou seja, 401 , MW (megawatts).

Resposta

a) A energia mecânica total da água do rio por unidade de massa é de 802 J/kg.
b) O potencial de geração de energia de todo o rio naquele local é de 401 MW.

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