Cloreto de potássio: A energia potencial de ligação do cloreto de potássio (KCl) é dada por
U=A(R0^78 r^8-1r)
onde A e R0 são constantes e r é a distância entre os centros dos dois átomos que formam a molécula. Encontre a componente radial da força de ligação entre os átomos que formam a molécula de KCl. Mostre que R0 é, de fato, a separação de equilíbrio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o cloreto de potássio (KCl) e a energia potencial de ligação entre os átomos que formam a molécula. Estamos trabalhando com conceitos de Energia Potencial e Força Radial. Para resolver isso, vamos precisar aplicar derivadas para encontrar a força a partir da energia potencial e depois verificar o ponto de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força é a derivada negativa da energia potencial em relação à distância. Ou seja:
Fr = -dUdr
Aqui, é a energia potencial e é a distância entre os centros dos átomos.

Passo 3

Vamos então derivar a expressão da energia potencial dada:
U = A(R0^78 r^8 - 1r)
A derivada de dUdr = A(ddr(R0^78 r^8) - ddr(1r)) em relação a fica:

Passo 4

Calculando cada derivada separadamente:
  1. Para ddr(R0^78 r^8) = R0^78 cdot (-8) r^-9 = -R0^7r^9 :
ddr(1r) = -r^-2 = -1r^2
  1. Para :

Passo 5

Substituindo as derivadas de volta na expressão da força:
Fr = -dUdr = -A(-R0^7r^9 + 1r^2) = A(R0^7r^9 - 1r^2)

Passo 6

Agora temos a expressão para a componente radial da força de ligação:
Fr = A(R0^7r^9 - 1r^2)

Passo 7

Para mostrar que Fr = 0 Rightarrow A(R0^7r^9 - 1r^2) = 0 é a separação de equilíbrio, precisamos encontrar o valor de R0^7r^9 - 1r^2 = 0 onde a força é zero (equilíbrio):
Como não é zero, podemos dividir ambos os lados por :

Passo 8

Resolvendo para R0^7r^9 = 1r^2 Rightarrow R0^7 = r^7 Rightarrow r = R0 :

Resposta

A componente radial da força de ligação é
Fr = A(R0^7r^9 - 1r^2)
E demonstramos que é, de fato, a separação de equilíbrio, pois quando , a força radial é igual a zero.

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