Lançamento de foguete: Um combustível muito empregado para motores de foguetes consiste em uma mistura de querosene com oxigênio líquido. A queima desse combustível pode produzir uma velocidade de escape igual a
. (a) Desprezando a força da gravidade e o peso dos tanques de combustível, determine a quantidade de combustível que é necessária para cada kg de carga útil para permitir que o foguete atinja a uma velocidade de 13
. (b) Em uma sonda lançada com destino a Marte, a massa inicial era de
e a carga útil era de apenas 250 kg, correspondendo a uma proporção de 400 unidades de massa de combustível para apenas uma unidade de massa de carga útil. Qual seria, nessas condições, a velocidade final de um foguete partindo do repouso?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de lançamento de foguete! A questão tem duas partes e envolve conceitos de física relacionados ao movimento dos foguetes. Precisamos usar a equação de Tsiolkovsky, que nos ajuda a entender como a massa do foguete e a velocidade de escape do combustível influenciam na velocidade final do foguete. Vamos lá!
Passo 2
Parte (a): Queremos descobrir quanta quantidade de combustível é necessária para cada quilograma de carga útil para que o foguete atinja uma velocidade de
. Primeiro, vamos converter essa velocidade para metros por segundo:
Passo 3
A equação de Tsiolkovsky é:
Onde:
-
é a variação de velocidade desejada ( ), -
é a velocidade de escape do combustível ( ), -
é a massa inicial (carga útil + combustível), -
é a massa final (apenas a carga útil).
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para encontrar a razão
:
Calculando
:
Passo 5
Isso significa que a massa inicial precisa ser aproximadamente 181,27 vezes a massa final (carga útil). Portanto, a massa de combustível por quilograma de carga útil é:
Ou seja, precisamos de aproximadamente 180,27 kg de combustível para cada 1 kg de carga útil.
Passo 6
Parte (b): Agora, sabemos que a massa inicial é
e a carga útil é 250 kg. A proporção de combustível para carga útil é 400:1.
Vamos usar novamente a equação de Tsiolkovsky para encontrar a velocidade final.
Passo 7
Primeiro, a massa final
é a carga útil:
A massa inicial
é:
(Nota: A massa inicial dada é
, então há uma pequena diferença, mas vamos seguir com os valores fornecidos na proporção.)
Passo 8
Usando a equação de Tsiolkovsky:
Passo 9
Calculando
:
Então:
Resposta
(a) É necessário aproximadamente 180,27 kg de combustível para cada 1 kg de carga útil.
(b) A velocidade final do foguete seria aproximadamente 14.978 m/s.
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.