Lançamento de foguete: Um combustível muito empregado para motores de foguetes consiste em uma mistura de querosene com oxigênio líquido. A queima desse combustível pode produzir uma velocidade de escape igual a . (a) Desprezando a força da gravidade e o peso dos tanques de combustível, determine a quantidade de combustível que é necessária para cada kg de carga útil para permitir que o foguete atinja a uma velocidade de 13 . (b) Em uma sonda lançada com destino a Marte, a massa inicial era de e a carga útil era de apenas 250 kg, correspondendo a uma proporção de 400 unidades de massa de combustível para apenas uma unidade de massa de carga útil. Qual seria, nessas condições, a velocidade final de um foguete partindo do repouso?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de lançamento de foguete! A questão tem duas partes e envolve conceitos de física relacionados ao movimento dos foguetes. Precisamos usar a equação de Tsiolkovsky, que nos ajuda a entender como a massa do foguete e a velocidade de escape do combustível influenciam na velocidade final do foguete. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Queremos descobrir quanta quantidade de combustível é necessária para cada quilograma de carga útil para que o foguete atinja uma velocidade de . Primeiro, vamos converter essa velocidade para metros por segundo:

Passo 3

A equação de Tsiolkovsky é:
Onde:
  • é a variação de velocidade desejada ( ),
  • é a velocidade de escape do combustível ( ),
  • é a massa inicial (carga útil + combustível),
  • é a massa final (apenas a carga útil).

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para encontrar a razão :
Calculando :

Passo 5

Isso significa que a massa inicial precisa ser aproximadamente 181,27 vezes a massa final (carga útil). Portanto, a massa de combustível por quilograma de carga útil é:
í
Ou seja, precisamos de aproximadamente 180,27 kg de combustível para cada 1 kg de carga útil.

Passo 6

Parte (b): Agora, sabemos que a massa inicial é e a carga útil é 250 kg. A proporção de combustível para carga útil é 400:1.
Vamos usar novamente a equação de Tsiolkovsky para encontrar a velocidade final.

Passo 7

Primeiro, a massa final é a carga útil:
A massa inicial é:
í
(Nota: A massa inicial dada é , então há uma pequena diferença, mas vamos seguir com os valores fornecidos na proporção.)

Passo 8

Usando a equação de Tsiolkovsky:

Passo 9

Calculando :
Então:

Resposta

(a) É necessário aproximadamente 180,27 kg de combustível para cada 1 kg de carga útil.
(b) A velocidade final do foguete seria aproximadamente 14.978 m/s.

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