Um código cíclico com
é gerado pelo polinómio
. Determine o polinómio de verificação de paridade
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre códigos cíclicos, especificamente um código com $ n = 15 $ gerado pelo polinômio $ g(X) = X^{8} + X^{7} + X^{6} + X^{4} + 1 $. Nosso objetivo aqui é encontrar o polinômio de verificação de paridade, que chamaremos de $ h(X) $. Para isso, vamos precisar entender como os polinômios geradores e de verificação se relacionam nos códigos cíclicos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que em um código cíclico, o polinômio gerador $ g(X) $ e o polinômio de verificação de paridade $ h(X) $ estão relacionados pela seguinte equação:
Isso significa que, para encontrar $ h(X) $, basta dividir $ X^{15} - 1 $ pelo polinômio gerador $ g(X) $.
Passo 3
Agora, vamos realizar essa divisão polinomial. Temos:
Para facilitar, vamos organizar os termos de $ g(X) $ e do dividendo $ X^{15} - 1 $ em ordem decrescente de potências.
Passo 4
Vamos começar a divisão. O primeiro termo do dividendo é $ X^{15} $ e o primeiro termo do divisor é $ X^{8} $. Para eliminar $ X^{15} $, multiplicamos o divisor por $ X^{7} $:
Então, multiplicamos todo o divisor por $ X^{7} $ e subtraímos do dividendo:
Como estamos em aritmética binária (GF(2)), os sinais negativos não importam, então ficamos com:
Passo 5
Repitamos o processo com o novo polinômio:
Dividindo pelo divisor $ g(X) $, o primeiro termo agora é $ X^{14} $. Multiplicamos o divisor por $ X^{6} $:
Multiplicando todo o divisor por $ X^{6} $ e subtraindo:
Passo 6
Continuando com:
Multiplicamos o divisor por $ X^{4} $:
Subtraindo:
Passo 7
Agora temos:
Multiplicamos o divisor por $ X^{3} $:
Subtraindo:
Passo 8
Continuando:
Multiplicamos o divisor por $ X^{2} $:
Subtraindo:
Passo 9
Agora, o grau do restante $ X^{3} + X^{2} + 1 $ é menor que o grau do divisor $ g(X) $, que é 8. Isso significa que já terminamos a divisão e o polinômio de verificação de paridade $ h(X) $ é o quociente obtido durante o processo, que foi:
Resposta
O polinômio de verificação de paridade é: