Um código cíclico com n=15 é gerado pelo polinómio g(X)=X^8+X^7+X^6+X^4+1. Determine o polinómio de verificação de paridade h(X).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre códigos cíclicos, especificamente um código com $ n = 15 $ gerado pelo polinômio $ g(X) = X^{8} + X^{7} + X^{6} + X^{4} + 1 $. Nosso objetivo aqui é encontrar o polinômio de verificação de paridade, que chamaremos de $ h(X) $. Para isso, vamos precisar entender como os polinômios geradores e de verificação se relacionam nos códigos cíclicos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que em um código cíclico, o polinômio gerador $ g(X) $ e o polinômio de verificação de paridade $ h(X) $ estão relacionados pela seguinte equação:
g(X)
Isso significa que, para encontrar $ h(X) $, basta dividir $ X^{15} - 1 $ pelo polinômio gerador $ g(X) $.

Passo 3

Agora, vamos realizar essa divisão polinomial. Temos:
X^15 - 1 div ( X^8 + X^7 + X^6 + X^4 + 1 )
Para facilitar, vamos organizar os termos de $ g(X) $ e do dividendo $ X^{15} - 1 $ em ordem decrescente de potências.

Passo 4

Vamos começar a divisão. O primeiro termo do dividendo é $ X^{15} $ e o primeiro termo do divisor é $ X^{8} $. Para eliminar $ X^{15} $, multiplicamos o divisor por $ X^{7} $:
X^15
Então, multiplicamos todo o divisor por $ X^{7} $ e subtraímos do dividendo:
X^8
Como estamos em aritmética binária (GF(2)), os sinais negativos não importam, então ficamos com:
X^15

Passo 5

Repitamos o processo com o novo polinômio:
X^14 + X^13 + X^11 + X^7 + 1
Dividindo pelo divisor $ g(X) $, o primeiro termo agora é $ X^{14} $. Multiplicamos o divisor por $ X^{6} $:
g(X)
Multiplicando todo o divisor por $ X^{6} $ e subtraindo:
X^14

Passo 6

Continuando com:
X^12 + X^10 + X^7 + X^6 + 1
Multiplicamos o divisor por $ X^{4} $:
X^4
Subtraindo:
X^8 times X^4 = X^12

Passo 7

Agora temos:
X^11 + X^8 + X^7 + X^6 + X^4 + 1
Multiplicamos o divisor por $ X^{3} $:
X^3
Subtraindo:
X^8 times X^3 = X^11

Passo 8

Continuando:
X^10 + X^9 + X^8 + X^6 + X^4 + X^3 + 1
Multiplicamos o divisor por $ X^{2} $:
X^2
Subtraindo:
X^8 times X^2 = X^10

Passo 9

Agora, o grau do restante $ X^{3} + X^{2} + 1 $ é menor que o grau do divisor $ g(X) $, que é 8. Isso significa que já terminamos a divisão e o polinômio de verificação de paridade $ h(X) $ é o quociente obtido durante o processo, que foi:
X^3 + X^2 + 1

Resposta

O polinômio de verificação de paridade é:
h(X) = X^7 + X^6 + X^4 + X^3 + X + 1

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