Beleza, você quer construir um código cíclico sistemático . Isso significa que estamos trabalhando com códigos de correção de erros na teoria da codificação. Um código cíclico é um tipo especial de código linear onde, se você deslocar ciclicamente os bits de uma palavra de código, ainda terá uma palavra de código válida. Vamos precisar entender sobre polinômios geradores e como montar a matriz geradora para esse código.
Passo 2
Primeiro, como estamos construindo um código cíclico de comprimento e com bits de informação, o número de bits de paridade será . Para códigos cíclicos, usamos polinômios para representar as palavras de código. Precisamos encontrar um polinômio gerador que divide .
Passo 3
Vamos fatorar o polinômio sobre o campo . Sabemos que . O polinômio gerador deve ser um dos fatores irreducíveis. Para termos , o grau de deve ser , mas aqui percebemos que os fatores são de grau 1 e 3. Isso indica que combinando dois fatores, podemos obter um polinômio de grau 4.
Passo 4
Vamos multiplicar os dois polinômios de grau 3: . Porém, o produto resultante terá grau 6, o que excede nosso necessário grau 4. Então, precisamos reconsiderar. Talvez escolhemos apenas um dos fatores de grau 3 e adicionamos o fator de grau 1: . Esse será nosso polinômio gerador de grau 4.
Passo 5
Agora que temos o polinômio gerador , podemos construir a matriz geradora para o código. Como o código é sistemático, a matriz terá a forma , onde é a matriz identidade de ordem e é a matriz de paridade derivada de .
Passo 6
Vamos expressar como . Para construir a matriz de paridade , deslocamos os coeficientes de e preenchemos com zeros quando necessário. Assim, a matriz geradora fica:
Resposta
O código cíclico sistemático (7,3) construído tem o polinômio gerador g(x) = x^4 + x^3 + x^2 + 1 e a matriz geradora: