Construa um código cíclico sistemático (7,3).

Passo 1

Beleza, você quer construir um código cíclico sistemático (7,3). Isso significa que estamos trabalhando com códigos de correção de erros na teoria da codificação. Um código cíclico é um tipo especial de código linear onde, se você deslocar ciclicamente os bits de uma palavra de código, ainda terá uma palavra de código válida. Vamos precisar entender sobre polinômios geradores e como montar a matriz geradora para esse código.

Passo 2

Primeiro, como estamos construindo um código cíclico de comprimento n = 7 e com k = 3 bits de informação, o número de bits de paridade será n - k = 4. Para códigos cíclicos, usamos polinômios para representar as palavras de código. Precisamos encontrar um polinômio gerador g(x) que divide x^7 - 1.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio x^7 - 1 sobre o campo F2. Sabemos que x^7 - 1 = (x - 1)(x^3 + x + 1)(x^3 + x^2 + 1). O polinômio gerador g(x) deve ser um dos fatores irreducíveis. Para termos k = 3, o grau de g(x) deve ser n - k = 4, mas aqui percebemos que os fatores são de grau 1 e 3. Isso indica que combinando dois fatores, podemos obter um polinômio de grau 4.

Passo 4

Vamos multiplicar os dois polinômios de grau 3: (x^3 + x + 1)(x^3 + x^2 + 1). Porém, o produto resultante terá grau 6, o que excede nosso necessário grau 4. Então, precisamos reconsiderar. Talvez escolhemos apenas um dos fatores de grau 3 e adicionamos o fator de grau 1: (x - 1)(x^3 + x + 1) = x^4 + x^3 + x^2 + 1. Esse será nosso polinômio gerador g(x) de grau 4.

Passo 5

Agora que temos o polinômio gerador g(x) = x^4 + x^3 + x^2 + 1, podemos construir a matriz geradora para o código. Como o código é sistemático, a matriz terá a forma [Ik | P], onde Ik é a matriz identidade de ordem k e P é a matriz de paridade derivada de g(x).

Passo 6

Vamos expressar g(x) como g(x) = x^4 + x^3 + x^2 + 1. Para construir a matriz de paridade P, deslocamos os coeficientes de g(x) e preenchemos com zeros quando necessário. Assim, a matriz geradora fica:
G = 1 & 0 & 0 & | & 1 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 1 & 1

Resposta

O código cíclico sistemático (7,3) construído tem o polinômio gerador g(x) = x^4 + x^3 + x^2 + 1 e a matriz geradora:
G = 1 & 0 & 0 & | & 1 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 1 & 1

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