Considere o código cíclico
gerado por
Encontre a matriz verificadora de paridade do código.
Encontre a matriz verificadora de paridade do código.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um código cíclico (7,4) gerado pelo polinômio $ g(X) = 1 + X^{2} + X^{3} $. O que isso significa? Um código cíclico é um tipo especial de código linear usado para detecção e correção de erros em transmissões de dados. Aqui,
é o comprimento total do código e
é o número de bits de informação. Nosso objetivo é encontrar a matriz verificadora de paridade desse código. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios geradores e como eles se relacionam com as matrizes de paridade.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o polinômio verificador $ h(X) $ do código. Em códigos cíclicos, o polinômio verificador é tal que $ g(X) \cdot h(X) = X^{n} - 1 $, onde $ n $ é o comprimento do código. No nosso caso, $ n = 7 $ e $ g(X) = 1 + X^{2} + X^{3} $.
Passo 3
Vamos multiplicar $ g(X) $ pelo seu polinômio verificador $ h(X) $ e igualar a $ X^{7} - 1 $:
Para encontrar $ h(X) $, precisamos dividir $ X^{7} - 1 $ por $ g(X) $.
Passo 4
Fazendo a divisão polinomial:
Após realizar a divisão, descobrimos que:
Então, o polinômio verificador é $ h(X) = 1 + X + X^{3} $.
Passo 5
Com o polinômio verificador $ h(X) $ em mãos, podemos construir a matriz verificadora de paridade. Essa matriz tem $ n - k = 7 - 4 = 3 $ linhas e $ 7 $ colunas. Cada linha da matriz é uma cyclic shift (deslocamento cíclico) do polinômio verificador.
Passo 6
Vamos escrever as linhas da matriz verificadora:
- Primeira linha: $ [1, 1, 0, 1, 0, 0, 0] $ (coeficientes de $ h(X) $)
- Segunda linha: $ [0, 1, 1, 0, 1, 0, 0] $ (uma cyclic shift para a direita)
- Terceira linha: $ [0, 0, 1, 1, 0, 1, 0] $ (duas cyclic shifts para a direita)
Resposta
A matriz verificadora de paridade do código é: