Considere o código cíclico (7,4) gerado por g(X)=1+X^2+X^3
Encontre a matriz verificadora de paridade do código.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um código cíclico (7,4) gerado pelo polinômio $ g(X) = 1 + X^{2} + X^{3} $. O que isso significa? Um código cíclico é um tipo especial de código linear usado para detecção e correção de erros em transmissões de dados. Aqui, g(X) = 1 + X^2 + X^3 é o comprimento total do código e 7 é o número de bits de informação. Nosso objetivo é encontrar a matriz verificadora de paridade desse código. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios geradores e como eles se relacionam com as matrizes de paridade.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o polinômio verificador $ h(X) $ do código. Em códigos cíclicos, o polinômio verificador é tal que $ g(X) \cdot h(X) = X^{n} - 1 $, onde $ n $ é o comprimento do código. No nosso caso, $ n = 7 $ e $ g(X) = 1 + X^{2} + X^{3} $.

Passo 3

Vamos multiplicar $ g(X) $ pelo seu polinômio verificador $ h(X) $ e igualar a $ X^{7} - 1 $:
g(X)
Para encontrar $ h(X) $, precisamos dividir $ X^{7} - 1 $ por $ g(X) $.

Passo 4

Fazendo a divisão polinomial:
X^7 - 1 div (1 + X^2 + X^3) = h(X)
Após realizar a divisão, descobrimos que:
h(X) = 1 + X + X^3
Então, o polinômio verificador é $ h(X) = 1 + X + X^{3} $.

Passo 5

Com o polinômio verificador $ h(X) $ em mãos, podemos construir a matriz verificadora de paridade. Essa matriz tem $ n - k = 7 - 4 = 3 $ linhas e $ 7 $ colunas. Cada linha da matriz é uma cyclic shift (deslocamento cíclico) do polinômio verificador.

Passo 6

Vamos escrever as linhas da matriz verificadora:
  • Primeira linha: $ [1, 1, 0, 1, 0, 0, 0] $ (coeficientes de $ h(X) $)
  • Segunda linha: $ [0, 1, 1, 0, 1, 0, 0] $ (uma cyclic shift para a direita)
  • Terceira linha: $ [0, 0, 1, 1, 0, 1, 0] $ (duas cyclic shifts para a direita)

Resposta

A matriz verificadora de paridade do código é:
H = 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0

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