Dado o vetor código 0111110, que pertence ao código (7,4), encontre C^(2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão de Teoria dos Códigos, especificamente de um código (7,4). O enunciado nos dá o vetor código 0111110 e pede para encontrar C^(2). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um código linear, como ele é representado e o que significa C^(2).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um código (n,k). Esse tipo de código tem comprimento n e dimensão k, ou seja, cada palavra código tem n bits e o espaço do código é gerado por k vetores independentes. No nosso caso, n=7 e k=4.

Passo 3

Agora, C^(2) geralmente representa o duplo código ou o código dual. O código dual de um código linear C é formado por todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores de C. Ou seja, para encontrar C^(2), precisamos encontrar todos os vetores que têm produto interno zero com cada palavra do código C.

Passo 4

Para encontrar o código dual, precisamos do matriz geradora ou da matriz de paridade do código C. Como C é um código (7,4), a matriz geradora G terá 4 linhas e 7 colunas. Porém, como só temos um vetor código dado, vamos assumir que temos uma base simplificada para C.

Passo 5

Vamos considerar o vetor código 0111110. Para encontrar C^(2), precisamos determinar os vetores que satisfazem a condição de serem ortogonais a esse vetor. Isso significa que o produto interno entre 0111110 e qualquer vetor v em C^(2) deve ser igual a zero.

Passo 6

Calculando o produto interno:
0 cdot v1 + 1 cdot v2 + 1 cdot v3 + 1 cdot v4 + 1 cdot v5 + 1 cdot v6 + 0 cdot v7 = 0
Simplificando:
v2 + v3 + v4 + v5 + v6 = 0

Passo 7

Essa equação nos dá uma restrição para os vetores em C^(2). Portanto, qualquer vetor v = (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7) em C^(2) deve satisfazer v2 + v3 + v4 + v5 + v6 = 0.

Passo 8

Para encontrar a estrutura completa de C^(2), precisaríamos de todas as condições impostas pelos vetores de C. Como temos apenas um vetor código, nossa descrição de C^(2) será baseada apenas nessa condição.

Resposta

O código dual C^(2) é formado por todos os vetores v = (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7) em F2^7 que satisfazem a condição:
v2 + v3 + v4 + v5 + v6 = 0

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