Considere o código cíclico (7,4) gerado por g(X)=1+X^2+X^3
Mostre que o polinômio gerador apresentado gera de faro um código cíclico (7, 4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre códigos cíclicos, especificamente o código cíclico (7,4) gerado pelo polinômio g(X) = 1 + X^2 + X^3. Nosso objetivo aqui é mostrar que esse polinômio realmente gera um código cíclico com esses parâmetros. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre códigos cíclicos, polinômios geradores e como eles se relacionam com os parâmetros do código.

Passo 2

Primeiro, o que é um código cíclico? Em termos simples, é um tipo de código de correção de erros onde, se você pegar uma palavra código válida e “rotacionar” seus bits, a nova palavra também será válida. Ou seja, a propriedade cíclica permite que o código seja eficiente para certas operações de correção.

Passo 3

Agora, precisamos entender o que significa o código ser (7,4). Isso indica que cada palavra código tem 7 bits no total, dos quais 4 são bits de informação e 3 são bits de paridade (usados para detectar e corrigir erros).

Passo 4

O próximo passo é falar sobre o polinômio gerador g(X) = 1 + X^2 + X^3. Esse polinômio é crucial porque ele gera todas as palavras código do nosso código cíclico. Mas para que ele faça isso corretamente, g(X) precisa dividir o polinômio X^7 - 1 sem deixar resto. Por quê? Porque isso garante que as rotações dos bits das palavras código também sejam válidas, mantendo a propriedade cíclica.

Passo 5

Vamos verificar se g(X) divide X^7 - 1. Primeiro, observamos que em campos binários (como o que estamos usando aqui), X^7 - 1 é igual a X^7 + 1, já que -1 é igual a 1 em campos binários.

Passo 6

Agora, precisamos fatorar X^7 + 1 no campo binário. Sabemos que:
X^7 + 1 = (X + 1)(X^3 + X + 1)(X^3 + X^2 + 1)

Passo 7

Observando os fatores, vemos que g(X) = X^3 + X^2 + 1 é um dos fatores dessa fatoração. Isso significa que g(X) divide perfeitamente X^7 + 1, confirmando que ele é um polinômio gerador válido para um código cíclico de comprimento 7.

Passo 8

Além disso, para determinar a dimensão do código, usamos a relação:
Dimensão = n - grau(g(X)) ã
Onde n é o comprimento do código (7) e grau(g(X)) é o grau do polinômio gerador (3). Então:
Dimensão = 7 - 3 = 4 ã
Isso confirma que o código é de fato (7,4).

Resposta

Assim, mostramos que o polinômio gerador g(X) = 1 + X^2 + X^3 divide X^7 - 1 e que a dimensão do código é 4. Portanto, g(X) gera de fato um código cíclico (7,4).

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