Considere o código cíclico
gerado por
Mostre que o polinômio gerador apresentado gera de faro um código cíclico (7, 4).
Mostre que o polinômio gerador apresentado gera de faro um código cíclico (7, 4).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre códigos cíclicos, especificamente o código cíclico
gerado pelo polinômio
. Nosso objetivo aqui é mostrar que esse polinômio realmente gera um código cíclico com esses parâmetros. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre códigos cíclicos, polinômios geradores e como eles se relacionam com os parâmetros do código.
Passo 2
Primeiro, o que é um código cíclico? Em termos simples, é um tipo de código de correção de erros onde, se você pegar uma palavra código válida e “rotacionar” seus bits, a nova palavra também será válida. Ou seja, a propriedade cíclica permite que o código seja eficiente para certas operações de correção.
Passo 3
Agora, precisamos entender o que significa o código ser
. Isso indica que cada palavra código tem 7 bits no total, dos quais 4 são bits de informação e 3 são bits de paridade (usados para detectar e corrigir erros).
Passo 4
O próximo passo é falar sobre o polinômio gerador
. Esse polinômio é crucial porque ele gera todas as palavras código do nosso código cíclico. Mas para que ele faça isso corretamente,
precisa dividir o polinômio
sem deixar resto. Por quê? Porque isso garante que as rotações dos bits das palavras código também sejam válidas, mantendo a propriedade cíclica.
Passo 5
Vamos verificar se
divide
. Primeiro, observamos que em campos binários (como o que estamos usando aqui),
é igual a
, já que
é igual a
em campos binários.
Passo 6
Agora, precisamos fatorar
no campo binário. Sabemos que:
Passo 7
Observando os fatores, vemos que
é um dos fatores dessa fatoração. Isso significa que
divide perfeitamente
, confirmando que ele é um polinômio gerador válido para um código cíclico de comprimento 7.
Passo 8
Além disso, para determinar a dimensão do código, usamos a relação:
Onde
é o comprimento do código (7) e
é o grau do polinômio gerador (3). Então:
Isso confirma que o código é de fato
.
Resposta
Assim, mostramos que o polinômio gerador
divide
e que a dimensão do código é 4. Portanto,
gera de fato um código cíclico
.