Um código cíclico (15,5) tem o polinómio gerador g(x)=X^10+X^8+X^5+X^4+X^2+X+1.
Determine o polinómio de código (na forma sistemática) para a mensagem m(X)= 1+X^2+X^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de códigos cíclicos, que são usados na teoria da codificação para detectar e corrigir erros em transmissões de dados. O problema nos dá um código cíclico chamado (15,5), o que significa que cada código tem 15 bits, dos quais 5 são de informação. O polinômio gerador desse código é:
g(x) = x^10 + x^8 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1
Nosso objetivo é encontrar o polinômio de código na forma sistemática para a mensagem dada:
m(x) = 1 + x^2 + x^4
Para resolver isso, vamos precisar entender como os códigos cíclicos funcionam, como usar o polinômio gerador para gerar o código e como colocar tudo na forma sistemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um código cíclico. Em termos simples, um código cíclico é um tipo especial de código linear onde, se você pegar um código válido e deslocar todos os seus bits uma posição para a direita (com o último bit voltando para a primeira posição), o resultado ainda é um código válido. Isso facilita a detecção e correção de erros.
O polinômio gerador g(x) é fundamental porque ele define todas as propriedades do código cíclico. Ele nos ajuda a gerar os códigos a partir das mensagens.
A forma sistemática de um código é aquela onde a mensagem original aparece “como está” nos primeiros bits do código, e os bits restantes são de redundância adicionados para a detecção e correção de erros.

Passo 3

Agora, vamos entender como obter o polinômio de código na forma sistemática. Para isso, seguimos basicamente dois passos:
  1. Multiplicar a mensagem m(x) pelo polinômio x^n-k, onde n é o comprimento total do código (15 bits) e k é o número de bits de informação (5 bits). Isso desloca a mensagem para a esquerda, deixando espaço para os bits de redundância.
  2. Dividir o resultado dessa multiplicação pelo polinômio gerador g(x). O resto dessa divisão será os bits de redundância.
Então, o polinômio de código c(x) será a soma da mensagem deslocada e do resto da divisão.

Passo 4

Vamos seguir esses passos com os valores do nosso exercício.
Primeiro, calculamos n - k:
n - k = 15 - 5 = 10
Então, multiplicamos a mensagem m(x) por x^10:
m(x) cdot x^10 = (1 + x^2 + x^4) cdot x^10 = x^10 + x^12 + x^14
Agora, vamos dividir esse polinômio pelo polinômio gerador g(x):
x^14 + x^12 + x^10x^10 + x^8 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1
Essa divisão polinomial nos dará um quociente e um resto. O resto será nosso polinômio de redundância.

Passo 5

Vamos realizar a divisão polinomial passo a passo.
  1. Dividimos o termo de maior grau do dividendo ( x^14) pelo termo de maior grau do divisor ( x^10), obtendo x^4.
  2. Multiplicamos o divisor g(x) por x^4:
x^4 cdot g(x) = x^14 + x^12 + x^9 + x^8 + x^6 + x^5 + x^4
  1. Subtraímos esse resultado do dividendo:
(x^14 + x^12 + x^10) - (x^14 + x^12 + x^9 + x^8 + x^6 + x^5 + x^4) = x^10 + x^9 + x^8 + x^6 + x^5 + x^4
  1. Repetimos o processo com o novo dividendo ( x^10 + x^9 + x^8 + x^6 + x^5 + x^4):
    • Dividimos x^10 por x^10, obtendo 1.
    • Multiplicamos g(x) por 1:
g(x) = x^10 + x^8 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1
  1. Subtraímos novamente:
(x^10 + x^9 + x^8 + x^6 + x^5 + x^4) - (x^10 + x^8 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1) = x^9 + x^6 + x^2 + x + 1
Agora, o grau do dividendo ( x^9) é menor que o grau do divisor ( x^10), então paramos. O resto da divisão é:
r(x) = x^9 + x^6 + x^2 + x + 1

Passo 6

O polinômio de código c(x) na forma sistemática é a soma da mensagem deslocada e do resto da divisão:
c(x) = m(x) cdot x^10 + r(x) = x^10 + x^12 + x^14 + x^9 + x^6 + x^2 + x + 1
No entanto, geralmente expressamos o código em ordem crescente de potências de x. Então, reorganizando:
c(x) = 1 + x + x^2 + x^6 + x^9 + x^10 + x^12 + x^14

Resposta

O polinômio de código na forma sistemática para a mensagem m(x) = 1 + x^2 + x^4 é:
c(x) = 1 + x + x^2 + x^6 + x^9 + x^10 + x^12 + x^14

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