Um código cíclico
tem o polinómio gerador
.
Determine o polinómio de código (na forma sistemática) para a mensagem
Determine o polinómio de código (na forma sistemática) para a mensagem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de códigos cíclicos, que são usados na teoria da codificação para detectar e corrigir erros em transmissões de dados. O problema nos dá um código cíclico chamado
, o que significa que cada código tem 15 bits, dos quais 5 são de informação. O polinômio gerador desse código é:
Nosso objetivo é encontrar o polinômio de código na forma sistemática para a mensagem dada:
Para resolver isso, vamos precisar entender como os códigos cíclicos funcionam, como usar o polinômio gerador para gerar o código e como colocar tudo na forma sistemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um código cíclico. Em termos simples, um código cíclico é um tipo especial de código linear onde, se você pegar um código válido e deslocar todos os seus bits uma posição para a direita (com o último bit voltando para a primeira posição), o resultado ainda é um código válido. Isso facilita a detecção e correção de erros.
O polinômio gerador
é fundamental porque ele define todas as propriedades do código cíclico. Ele nos ajuda a gerar os códigos a partir das mensagens.
A forma sistemática de um código é aquela onde a mensagem original aparece “como está” nos primeiros bits do código, e os bits restantes são de redundância adicionados para a detecção e correção de erros.
Passo 3
Agora, vamos entender como obter o polinômio de código na forma sistemática. Para isso, seguimos basicamente dois passos:
-
Multiplicar a mensagem
pelo polinômio , onde é o comprimento total do código (15 bits) e é o número de bits de informação (5 bits). Isso desloca a mensagem para a esquerda, deixando espaço para os bits de redundância. -
Dividir o resultado dessa multiplicação pelo polinômio gerador
. O resto dessa divisão será os bits de redundância.
Então, o polinômio de código
será a soma da mensagem deslocada e do resto da divisão.
Passo 4
Vamos seguir esses passos com os valores do nosso exercício.
Primeiro, calculamos
:
Então, multiplicamos a mensagem
por
:
Agora, vamos dividir esse polinômio pelo polinômio gerador
:
Essa divisão polinomial nos dará um quociente e um resto. O resto será nosso polinômio de redundância.
Passo 5
Vamos realizar a divisão polinomial passo a passo.
- Dividimos o termo de maior grau do dividendo (
) pelo termo de maior grau do divisor ( ), obtendo . - Multiplicamos o divisor
por :
- Subtraímos esse resultado do dividendo:
-
Repetimos o processo com o novo dividendo (
): - Dividimos
por , obtendo 1. - Multiplicamos
por 1:
- Dividimos
- Subtraímos novamente:
Agora, o grau do dividendo (
) é menor que o grau do divisor (
), então paramos. O resto da divisão é:
Passo 6
O polinômio de código
na forma sistemática é a soma da mensagem deslocada e do resto da divisão:
No entanto, geralmente expressamos o código em ordem crescente de potências de
. Então, reorganizando:
Resposta
O polinômio de código na forma sistemática para a mensagem
é: