Considere o código cíclico
gerado por
Encontre todas as palavras códigos.
Encontre todas as palavras códigos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um código cíclico do tipo
, ou seja, cada palavra código tem 7 bits e há 4 bits de informação. O código é gerado pelo polinômio
. Nosso objetivo aqui é encontrar todas as palavras código desse código cíclico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um código cíclico. Em termos simples, um código cíclico é um conjunto de palavras código que têm a propriedade de que qualquer rotação cíclica de uma palavra código ainda pertence ao conjunto de palavras código. Isso significa que, se você deslocar todos os bits de uma palavra código uma posição para a direita ou para a esquerda, o resultado ainda será uma palavra válida do código.
Passo 3
Agora, o gerador
é um polinômio que gera todas as palavras código através da multiplicação por polinômios de mensagem. Nesse caso, como nosso código é
, o grau de
é
, o que confirma que
está correto.
Passo 4
Para encontrar todas as palavras código, precisamos considerar todas as possíveis mensagens que podem ser codificadas. Como
, existem
mensagens diferentes, representadas por polinômios de grau inferior a 4 com coeficientes em
(ou seja, coeficientes que são 0 ou 1).
Passo 5
Vamos listar todas as possíveis mensagens em forma de polinômio:
Passo 6
Cada palavra código
é obtida multiplicando a mensagem
pelo gerador
e fazendo a operação módulo
. Ou seja:
Vamos realizar essa multiplicação para cada mensagem.
Passo 7
Vamos exemplificar com algumas mensagens para entender o processo:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 8
Replicando esse processo para todas as 16 mensagens, obtemos as seguintes palavras código:
Resposta
Todas as 16 palavras código do código cíclico
gerado por
são:
Essas são todas as palavras código possíveis para o código cíclico especificado.