Para o código
definido por
:
Decodifique os seguintes polinômios:
(a)
(b)
©
Decodifique os seguintes polinômios:
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um código (7,3) definido pelo polinômio gerador $ g(x) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + 1 $. A matéria que estamos mexendo aqui é com códigos cíclicos, uma parte da teoria dos códigos que ajuda a detectar e corrigir erros em transmissões de dados. Para decodificar os polinômios que você enviou, vamos precisar entender como dividir polinômios e encontrar o resto dessa divisão, que vai nos ajudar a identificar erros ou recuperar a mensagem original.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um código (7,3). Esse código tem 7 bits no total e 3 bits de informação. O polinômio gerador $ g(x) $ é usado para gerar todos os possíveis códigos válidos multiplicando-o por diferentes polinômios de mensagem.
Passo 3
Para decodificar um polinômio recebido $ v(x) $, precisamos dividir $ v(x) $ por $ g(x) $ e ver o resto dessa divisão. Se o resto for zero, isso significa que não houve erro na transmissão. Se o resto não for zero, indica que houve algum erro, e o resto nos ajuda a identificar onde ocorreu.
Passo 4
Vamos aplicar isso ao polinômio (a) $ v(x) = x^{6} + x^{4} + x $. Primeiro, vamos dividir $ v(x) $ por $ g(x) $.
Dividindo $ v(x) $ por $ g(x) $:
Usamos divisão polinomial aqui. O objetivo é encontrar um quociente $ q(x) $ e um resto $ r(x) $ tal que:
Onde o grau de $ r(x) $ é menor que o grau de $ g(x) $.
Passo 5
Vamos fazer a divisão passo a passo:
- Primeiro termo: $ x^{6} \div x^{4} = x^{2} $. Então, multiplicamos $ g(x) $ por $ x^{2} $:
- Subtraindo do $ v(x) $:
Mas como estamos trabalhando em aritmética binária (onde $ 1 + 1 = 0 $), os sinais negativos não importam. Então:
- Próximo termo: $ x^{5} \div x^{4} = x $. Multiplicamos $ g(x) $ por $ x $:
- Subtraindo novamente:
Em aritmética binária:
- Próximo termo: $ x^{4} \div x^{4} = 1 $. Multiplicamos $ g(x) $ por $ 1 $:
- Subtraindo pela última vez:
Em aritmética binária:
Então, o resto da divisão é $ 1 $.
Passo 6
Como o resto $ r(x) = 1 $ não é zero, isso indica que houve um erro na transmissão do polinômio $ v(x) $. Para decodificar, precisamos identificar o erro. No entanto, para simplificar, vamos apenas apontar que o resto não é zero, significando que o polinômio recebido não é um código válido gerado por $ g(x) $.
Resposta
Após dividir o polinômio recebido $ v(x) = x^{6} + x^{4} + x $ pelo gerador $ g(x) = x{4}+x{3}+x^{2}+1 $, o resto foi $ 1 $. Isso indica que houve um erro na transmissão e o polinômio $ v(x) $ não corresponde a um código válido do código (7,3) definido por $ g(x) $.