Considere o código cíclico (7,4) gerado por g(X)=1+X^2+X^3
Verifique se o vetor recebido r=1101101 é um vetor válido através da síndrome.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o vetor recebido r = 1101101 é válido dentro de um código cíclico (7,4) gerado pelo polinômio g(X) = 1 + X^2 + X^3. Isso faz parte da matéria de códigos de correção de erros, especificamente sobre códigos cíclicos e o uso da síndrome para detectar erros. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a síndrome de um vetor recebido e interpretar esse resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um código cíclico (7,4). Isso significa que os vetores de código têm comprimento 7 e que o espaço dos códigos tem dimensão 4. O polinômio gerador g(X) = 1 + X^2 + X^3 nos ajuda a construir os vetores de código válidos.

Passo 3

A síndrome é uma ferramenta utilizada para detectar erros em códigos cíclicos. Basicamente, ela é calculada dividindo o polinômio correspondente ao vetor recebido pelo polinômio gerador g(X). Se o resto dessa divisão for zero, o vetor é válido (sem erros); caso contrário, há erros.

Passo 4

Vamos converter o vetor recebido r = 1101101 para o polinômio correspondente. Cada bit representa o coeficiente de uma potência de X, começando da posição mais à direita (menor potência).
Então,
r(X) = 1 cdot X^6 + 1 cdot X^5 + 0 cdot X^4 + 1 cdot X^3 + 1 cdot X^2 + 0 cdot X^1 + 1 cdot X^0 = X^6 + X^5 + X^3 + X^2 + 1

Passo 5

Agora, vamos dividir r(X) por g(X) para encontrar a síndrome. A operação é feita em aritmética polinomial binária, onde a soma e a multiplicação são realizadas módulo 2.
Realizando a divisão:
  1. Divisão Inicial:
    • Dividendo: X^6 + X^5 + X^3 + X^2 + 1
    • Divisor: g(X) = X^3 + X^2 + 1
  2. Primeiro Passo:
    • O termo de maior grau do dividendo é X^6.
    • Multiplicamos o divisor por X^3 para igualar os graus: (X^3 + X^2 + 1) cdot X^3 = X^6 + X^5 + X^3
      - Subtraímos isso do dividendo:
      (X^6 + X^5 + X^3 + X^2 + 1) - (X^6 + X^5 + X^3) = X^2 + 1
  3. Segundo Passo:
    • O novo dividendo é X^2 + 1, que tem grau menor que o divisor.
    • Portanto, a divisão termina aqui, e o resto é X^2 + 1.

Passo 6

A síndrome é o resto da divisão, que nesse caso é X^2 + 1. Se a síndrome fosse zero, o vetor recebido seria válido. Como ela não é zero, isso indica que há erros no vetor recebido.

Resposta

O vetor recebido r = 1101101 não é válido dentro do código cíclico (7,4), pois a síndrome calculada é X^2 + 1, diferente de zero.

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