O coeficiente de dilatação linear médio de um certo material é e sua massa especifica a é . Calcule de quantos por cento varia a massa especifica desse material quando um bloco é levado de a .

Passo 1

Vamos resolver um problema de dilatação térmica e variação da massa específica. A questão nos dá o coeficiente de dilatação linear médio ( ) e a massa específica inicial ( ) a . Precisamos descobrir em quanto por cento a massa específica desse material muda quando a temperatura aumenta para . Para isso, vamos usar conceitos de dilatação térmica e como ela afeta o volume e a massa específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é dilatação linear. Quando um material é aquecido, suas dimensões lineares aumentam proporcionalmente à variação de temperatura. A dilatação linear é dada pela fórmula:
onde é a variação no comprimento, é o comprimento inicial, é o coeficiente de dilatação linear e é a mudança de temperatura.

Passo 3

Como estamos lidando com um bloco, a dilatação ocorre em todas as três dimensões (comprimento, largura e altura). Assim, o volume inicial do bloco é dado por . Após o aquecimento, cada dimensão aumenta para , e o mesmo vale para largura e altura.

Passo 4

O novo volume após a dilatação é:
Simplificando, temos:
Para pequenas variações, podemos aproximar .

Passo 5

Portanto, o novo volume é aproximadamente:
A massa do bloco permanece constante durante a expansão térmica, então a massa específica é:

Passo 6

Queremos encontrar a variação percentual na massa específica. A variação percentual é dada por:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 7

Assumindo que é muito pequeno (o que é válido aqui, já que e ), podemos aproximar o denominador por 1:

Passo 8

Agora, substituímos os valores:
Calculando:

Resposta

A massa específica do material diminui em quando a temperatura aumenta de para .

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