O coeficiente de dilatação linear médio de um certo material é alpha=5 cdot 10^-5 ^circ C^-1 e sua massa especifica a 0^circ C é rho 0. Calcule de quantos por cento varia a massa especifica desse material quando um bloco é levado de 0^circ C a 300 ^circ C.

Passo 1

Vamos resolver um problema de dilatação térmica e variação da massa específica. A questão nos dá o coeficiente de dilatação linear médio ( alpha=5 cdot 10^-5 , ^circC^-1) e a massa específica inicial ( rho0) a 0^circC. Precisamos descobrir em quanto por cento a massa específica desse material muda quando a temperatura aumenta para 300^circC. Para isso, vamos usar conceitos de dilatação térmica e como ela afeta o volume e a massa específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é dilatação linear. Quando um material é aquecido, suas dimensões lineares aumentam proporcionalmente à variação de temperatura. A dilatação linear é dada pela fórmula:
De
onde De é a variação no comprimento, L0 é o comprimento inicial, alpha é o coeficiente de dilatação linear e De é a mudança de temperatura.

Passo 3

Como estamos lidando com um bloco, a dilatação ocorre em todas as três dimensões (comprimento, largura e altura). Assim, o volume inicial V0 do bloco é dado por V0 = L0 cdot W0 cdot H0. Após o aquecimento, cada dimensão aumenta para L = L0 (1 + alpha De, e o mesmo vale para largura e altura.

Passo 4

O novo volume V após a dilatação é:
V = L cdot W cdot H = L0 (1 + alpha De
Simplificando, temos:
V = V0 (1 + alpha De
Para pequenas variações, podemos aproximar (1 + alpha De.

Passo 5

Portanto, o novo volume é aproximadamente:
V approx V0 (1 + 3alpha De
A massa do bloco permanece constante durante a expansão térmica, então a massa específica rho é:
rho = mV = mV0 (1 + 3alpha De

Passo 6

Queremos encontrar a variação percentual na massa específica. A variação percentual é dada por:
rho - rho0rho0 times 100%
Substituindo rho:
rho01 + 3alpha De
Simplificando:
(1 - (1 + 3alpha De

Passo 7

Assumindo que 3alpha De é muito pequeno (o que é válido aqui, já que alpha=5 cdot 10^-5 e De), podemos aproximar o denominador por 1:
-3alpha De

Passo 8

Agora, substituímos os valores:
-3 times 5 cdot 10^-5 , ^circC^-1 times 300 , ^circC times 100% = -3 times 5 times 300 times 10^-5 times 100%
Calculando:
-3 times 5 = -15 -15 times 300 = -4500 -4500 times 10^-5 = -0,045 -0,045 times 100% = -4,5%

Resposta

A massa específica do material diminui em 4,5% quando a temperatura aumenta de 0^circC para 300^circC.

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