O coeficiente de dilatação linear médio de um certo material é
e sua massa especifica a
é
. Calcule de quantos por cento varia a massa especifica desse material quando um bloco é levado de
a
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de dilatação térmica e variação da massa específica. A questão nos dá o coeficiente de dilatação linear médio (
) e a massa específica inicial (
) a
. Precisamos descobrir em quanto por cento a massa específica desse material muda quando a temperatura aumenta para
. Para isso, vamos usar conceitos de dilatação térmica e como ela afeta o volume e a massa específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é dilatação linear. Quando um material é aquecido, suas dimensões lineares aumentam proporcionalmente à variação de temperatura. A dilatação linear é dada pela fórmula:
onde
é a variação no comprimento,
é o comprimento inicial,
é o coeficiente de dilatação linear e
é a mudança de temperatura.
Passo 3
Como estamos lidando com um bloco, a dilatação ocorre em todas as três dimensões (comprimento, largura e altura). Assim, o volume inicial
do bloco é dado por
. Após o aquecimento, cada dimensão aumenta para
, e o mesmo vale para largura e altura.
Passo 4
O novo volume
após a dilatação é:
Simplificando, temos:
Para pequenas variações, podemos aproximar
.
Passo 5
Portanto, o novo volume é aproximadamente:
A massa do bloco permanece constante durante a expansão térmica, então a massa específica
é:
Passo 6
Queremos encontrar a variação percentual na massa específica. A variação percentual é dada por:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 7
Assumindo que
é muito pequeno (o que é válido aqui, já que
e
), podemos aproximar o denominador por 1:
Passo 8
Agora, substituímos os valores:
Calculando:
Resposta
A massa específica do material diminui em
quando a temperatura aumenta de
para
.
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