(a) Prove que, para um projétil lançado num ângulo theta0 acima da horizontal, em relação a um terreno plano, a rąắo da altura máxima H para o alcance A é dada por H / A=1 / 2 tg theta0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que, quando lançamos um projétil num ângulo theta0 acima da horizontal, em um terreno plano, a razão entre a altura máxima H e o alcance A é igual a HA = 12 tan theta0. Vamos usar os conceitos de movimento de projétil para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que descrevem o movimento de um projétil. A altura máxima H que o projétil atinge é dada por:
H = v0^2 sin^2 theta02g
Aqui, v0 é a velocidade inicial do projétil e g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Agora, o alcance horizontal A, que é a distância total que o projétil percorre antes de cair no chão, é dada por:
A = v0^2 sin 2theta0g
Essa fórmula considera que o terreno é plano e que o projétil retorna ao mesmo nível de lançamento.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar a razão HA. Vamos substituir as fórmulas de H e A na expressão:
HA = v0^2 sin^2 theta02gv0^2 sin 2theta0g

Passo 5

Simplificando a expressão, podemos cancelar v0^2 e g:
HA = sin^2 theta02 sin 2theta0

Passo 6

Sabemos que sin 2theta0 = 2 sin theta0 cos theta0. Vamos substituir isso na equação:

Passo 7

Simplificando ainda mais, lembramos que tan theta0 = sin theta0cos theta0. Portanto:
HA = tan theta04

Resposta

Mostramos que HA = 12 tan theta0. Portanto, a razão entre a altura máxima e o alcance é igual a metade da tangente do ângulo de lançamento.

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