(a) Prove que, para um projétil lançado num ângulo
acima da horizontal, em relação a um terreno plano, a rąắo da altura máxima
para o alcance
é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que, quando lançamos um projétil num ângulo
acima da horizontal, em um terreno plano, a razão entre a altura máxima
e o alcance
é igual a
. Vamos usar os conceitos de movimento de projétil para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que descrevem o movimento de um projétil. A altura máxima
que o projétil atinge é dada por:
Aqui,
é a velocidade inicial do projétil e
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Agora, o alcance horizontal
, que é a distância total que o projétil percorre antes de cair no chão, é dada por:
Essa fórmula considera que o terreno é plano e que o projétil retorna ao mesmo nível de lançamento.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar a razão
. Vamos substituir as fórmulas de
e
na expressão:
Passo 5
Simplificando a expressão, podemos cancelar
e
:
Passo 6
Sabemos que
. Vamos substituir isso na equação:
Passo 7
Simplificando ainda mais, lembramos que
. Portanto:
Resposta
Mostramos que
. Portanto, a razão entre a altura máxima e o alcance é igual a metade da tangente do ângulo de lançamento.