Uma partícula move-se ao longo do eixo xy. As suas coordenadas são dadas em função do tempo por x=R cos (w t) e y=R sen(w t), onde R e w são constantes. Mostrar qual a aceleração da partícula tem sempre à direção oposta ao seu vetor de posição, e o módulo é igual a w²R.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que se move no plano com suas coordenadas dadas por e , onde e são constantes. O objetivo é mostrar que a aceleração dessa partícula está sempre na direção oposta ao vetor posição e que o módulo da aceleração é igual a .
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial para encontrar a aceleração a partir das coordenadas e depois analisar a direção e o módulo dessa aceleração em relação ao vetor posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula derivando as funções de posição em relação ao tempo.
A derivada de vx = dxdt = -R omega sen(omega t) em relação a vy = dydt = R omega cos(omega t) é:
E a derivada de v = (vx, vy) = (-R omega sen(omega t), R omega cos(omega t)) em relação a é:
Então, a velocidade vetorial da partícula é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Derivando ax = dvxdt = -R omega^2 cos(omega t) :
ay = dvydt = -R omega^2 sen(omega t)
Derivando a = (ax, ay) = (-R omega^2 cos(omega t), -R omega^2 sen(omega t)) :
Portanto, a aceleração vetorial é:

Passo 4

Vamos reescrever a aceleração em termos do vetor posição :
Isso mostra que a aceleração a = -omega^2 (R cos(omega t), R sen(omega t)) = -omega^2 r é sempre na direção oposta ao vetor posição , já que está multiplicada por .

Passo 5

Para encontrar o módulo da aceleração, calculamos a magnitude de |a| = raizax^2 + ay^2 = raiz(-R omega^2 cos(omega t))^2 + (-R omega^2 sen(omega t))^2 :
Simplificando:
Porque .

Resposta

A aceleração da partícula está sempre na direção oposta ao vetor posição e seu módulo é igual a .

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