Uma partícula move-se ao longo do eixo xy. As suas coordenadas são dadas em função do tempo por e , onde e w são constantes. Mostrar qual a aceleração da partícula tem sempre à direção oposta ao seu vetor de posição, e o módulo é igual a w²R.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que se move no plano com suas coordenadas dadas por e , onde e são constantes. O objetivo é mostrar que a aceleração dessa partícula está sempre na direção oposta ao vetor posição e que o módulo da aceleração é igual a .
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial para encontrar a aceleração a partir das coordenadas e depois analisar a direção e o módulo dessa aceleração em relação ao vetor posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula derivando as funções de posição em relação ao tempo.
A derivada de em relação a é:
E a derivada de em relação a é:
Então, a velocidade vetorial da partícula é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Derivando :
Derivando :
Portanto, a aceleração vetorial é:

Passo 4

Vamos reescrever a aceleração em termos do vetor posição :
Isso mostra que a aceleração é sempre na direção oposta ao vetor posição , já que está multiplicada por .

Passo 5

Para encontrar o módulo da aceleração, calculamos a magnitude de :
Simplificando:
Porque .

Resposta

A aceleração da partícula está sempre na direção oposta ao vetor posição e seu módulo é igual a .

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