Uma partícula move-se ao longo do eixo xy. As suas coordenadas são dadas em função do tempo por
e
, onde
e w são constantes. Mostrar qual a aceleração da partícula tem sempre à direção oposta ao seu vetor de posição, e o módulo é igual a w²R.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que se move no plano
com suas coordenadas dadas por
e , onde
e
são constantes. O objetivo é mostrar que a aceleração dessa partícula está sempre na direção oposta ao vetor posição e que o módulo da aceleração é igual a
.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial para encontrar a aceleração a partir das coordenadas e depois analisar a direção e o módulo dessa aceleração em relação ao vetor posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula derivando as funções de posição em relação ao tempo.
A derivada de
em relação a
é:
E a derivada de
em relação a
é:
Então, a velocidade vetorial da partícula é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Derivando
:
Derivando
:
Portanto, a aceleração vetorial é:
Passo 4
Vamos reescrever a aceleração em termos do vetor posição :
Isso mostra que a aceleração
é sempre na direção oposta ao vetor posição
, já que está multiplicada por
.
Passo 5
Para encontrar o módulo da aceleração, calculamos a magnitude de
:
Simplificando:
Porque .
Resposta
A aceleração da partícula está sempre na direção oposta ao vetor posição
e seu módulo é igual a
.
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Determine a aceleração da particula no instante .
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