Coeficientes com descontinuidade de salto
Resolva os seguintes problemas de valor inicial envolvendo EDO de primeira ordem linear onde aparecem coeficientes descontínuos.
(a)
em que
se
e
se
.
(b)
em que
se
e
se
.
Sugestão: se
é o ponto de descontinuidade, será necessário resolver a equação separadamente para
e para
. Depois, juntam-se as duas soluções de modo que a função incógnita
seja contínua em
. Isso é feito por uma escolha apropriada das constantes arbitrárias. Em cada caso é impossível tornar
contínua em
.
Respostas: (a)
se
e
se
, (b)
se
e
se
.
Resolva os seguintes problemas de valor inicial envolvendo EDO de primeira ordem linear onde aparecem coeficientes descontínuos.
(a)
(b)
Sugestão: se
Respostas: (a)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem linear dada por
com a condição inicial
. Aqui,
é uma função descontínua que vale 1 para
e 0 para
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante e tratar os dois intervalos separadamente devido à descontinuidade em
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação para
, onde
. A equação fica:
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante
. Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Dividindo por
:
Usando a condição inicial
:
Então, a solução para
é:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
, onde
. A equação fica:
Essa é uma equação homogênea. A solução geral é:
Precisamos garantir que a solução seja contínua em
. Calculamos
na primeira parte:
Igualamos a
para
em
:
Resolvendo para
:
Portanto, a solução para
é:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda equação diferencial dada por
com a condição inicial
, onde
é uma função descontínua que vale 2 para
e 1 para
. Novamente, usaremos o método do fator integrante e resolveremos em dois intervalos separados devido à descontinuidade em
.
Passo 5
Primeiro, para
, onde
, a equação fica:
Essa é uma equação homogênea com solução:
Aplicando a condição inicial
:
Então, a solução para
é:
Passo 6
Agora, para
, onde
, a equação fica:
A solução geral é:
Precisamos garantir que a solução seja contínua em
. Calculamos
na primeira parte:
Igualamos a
para
em
:
Resolvendo para
:
Portanto, a solução para
é:
Mas para simplificar, podemos escrever
.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais:
(a)
(a)
(b)(*)
©
Sugestão: (a) exata, (b), © redutíveis a equações exatas. Respostas:
(a)
(a)
(b)
©
(*) Resolva o problema de valor inicial
e esboce o gráfico de
, que descreve a evolução com o tempo de uma população segundo o modelo de Gompertz (empregado para modelar crescimentos celulares em plantas, bactérias, tumores, etc).
Explique brevemente este modelo.
Qual é o valor da população limite ?
Sugestão: Fazer a mudança de variável , que produz uma EDO separável para
.
Resposta:
Explique brevemente este modelo.
Qual é o valor da população limite ?
Sugestão: Fazer a mudança de variável
Resposta:
Resolver a EDO
Resposta:
.
(*) Considere a EDO
Supondo que a EDO admite um fator integrante da forma
encontre
tais que a EDO resultante é EXATA.
Obtenha as soluções desta EDO.
Resposta:
Obtenha as soluções desta EDO.
Resposta: