(*) Coeficientes com descontinuidade de salto
Resolva os seguintes problemas de valor inicial envolvendo EDO de primeira ordem linear onde aparecem coeficientes descontínuos.
(a)
d u/d t + 2 u = g(t), u(0) = 0
em que g(t) = 1 se 0 <= t <= 1 e g(t)=0 se t > 1.
(b)
d u/d t + p(t) u = 0, u(0) = 1
em que p(t) = 2 se 0 <= t <= 1 e p(t) = 1 se t > 1.
Sugestão: se t0 é o ponto de descontinuidade, será necessário resolver a equação separadamente para t < t0 e para t > t0. Depois, juntam-se as duas soluções de modo que a função incógnita u seja contínua em t0. Isso é feito por uma escolha apropriada das constantes arbitrárias. Em cada caso é impossível tornar du/dt contínua em t0.
Respostas: (a) u(t) = (1/2)(1 - exp(-2t)) se 0 <= t <= 1 e u(t) = (1 / 2) * exp(-2 t) * (e^2 - 1) se t > 1, (b) u(t) = exp(-2 t) se 0 <= t <= 1 e u(t) = exp(-t - 1) se t > 1.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem linear dada por com a condição inicial . Aqui, é uma função descontínua que vale 1 para e 0 para . Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante e tratar os dois intervalos separadamente devido à descontinuidade em .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação para , onde . A equação fica:
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante . Multiplicando toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Dividindo por :
Usando a condição inicial :
Então, a solução para é:

Passo 3

Agora, vamos resolver para , onde . A equação fica:
Essa é uma equação homogênea. A solução geral é:
Precisamos garantir que a solução seja contínua em . Calculamos na primeira parte:
Igualamos a para em :
Resolvendo para :
Portanto, a solução para é:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda equação diferencial dada por com a condição inicial , onde é uma função descontínua que vale 2 para e 1 para . Novamente, usaremos o método do fator integrante e resolveremos em dois intervalos separados devido à descontinuidade em .

Passo 5

Primeiro, para , onde , a equação fica:
Essa é uma equação homogênea com solução:
Aplicando a condição inicial :
Então, a solução para é:

Passo 6

Agora, para , onde , a equação fica:
A solução geral é:
Precisamos garantir que a solução seja contínua em . Calculamos na primeira parte:
Igualamos a para em :
Resolvendo para :
Portanto, a solução para é:
Mas para simplificar, podemos escrever .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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