Coeficientes com descontinuidade de salto
Resolva os seguintes problemas de valor inicial envolvendo EDO de primeira ordem linear onde aparecem coeficientes descontínuos.
(a)
em que se e se .
(b)
em que se e se .
Sugestão: se é o ponto de descontinuidade, será necessário resolver a equação separadamente para e para . Depois, juntam-se as duas soluções de modo que a função incógnita seja contínua em . Isso é feito por uma escolha apropriada das constantes arbitrárias. Em cada caso é impossível tornar contínua em .
Respostas: (a) se e se , (b) se e se .

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem linear dada por com a condição inicial . Aqui, é uma função descontínua que vale 1 para e 0 para . Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante e tratar os dois intervalos separadamente devido à descontinuidade em .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação para , onde . A equação fica:
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante . Multiplicando toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Dividindo por :
Usando a condição inicial :
Então, a solução para é:

Passo 3

Agora, vamos resolver para , onde . A equação fica:
Essa é uma equação homogênea. A solução geral é:
Precisamos garantir que a solução seja contínua em . Calculamos na primeira parte:
Igualamos a para em :
Resolvendo para :
Portanto, a solução para é:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda equação diferencial dada por com a condição inicial , onde é uma função descontínua que vale 2 para e 1 para . Novamente, usaremos o método do fator integrante e resolveremos em dois intervalos separados devido à descontinuidade em .

Passo 5

Primeiro, para , onde , a equação fica:
Essa é uma equação homogênea com solução:
Aplicando a condição inicial :
Então, a solução para é:

Passo 6

Agora, para , onde , a equação fica:
A solução geral é:
Precisamos garantir que a solução seja contínua em . Calculamos na primeira parte:
Igualamos a para em :
Resolvendo para :
Portanto, a solução para é:
Mas para simplificar, podemos escrever .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Resolva as seguintes equações diferenciais:
(a)
(b)(*)
©
Sugestão: (a) exata, (b), © redutíveis a equações exatas. Respostas:
(a)
(b)
©
(*) Resolva o problema de valor inicial
e esboce o gráfico de , que descreve a evolução com o tempo de uma população segundo o modelo de Gompertz (empregado para modelar crescimentos celulares em plantas, bactérias, tumores, etc).
Explique brevemente este modelo.
Qual é o valor da população limite ?
Sugestão: Fazer a mudança de variável , que produz uma EDO separável para .
Resposta:
Resolver a EDO
Resposta: .
(*) Considere a EDO
Supondo que a EDO admite um fator integrante da forma
encontre tais que a EDO resultante é EXATA.
Obtenha as soluções desta EDO.
Resposta: