(*) Considere a EDO
(y - y^2) + x * dy/dx = 0
Supondo que a EDO admite um fator integrante da forma
mu(x, y) = x^m * y^n
encontre m, n pertencem a Z tais que a EDO resultante é EXATA.
Obtenha as soluções desta EDO.
Resposta:
y(x) = 1 / (1 - c * x)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma:
O objetivo é encontrar valores inteiros para e tais que, ao multiplicarmos a EDO por um fator integrante da forma , a equação resultante se torne exata. Depois disso, vamos resolver essa EDO exata para encontrar a solução geral.
Conteúdos que vamos usar:
  • Fator integrante para tornar a EDO exata.
  • Condição de exatidão para EDOs.
  • Integração de equações exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma EDO na forma geral:
é exata se satisfizer a condição:
Nossa EDO original pode ser escrita como:
Queremos encontrar tal que a equação multiplicada por seja exata. Então, a nova EDO será:

Passo 3

Vamos multiplicar e pelo fator integrante :

Passo 4

Agora, aplicamos a condição de exatidão:
Calculando as derivadas parciais:

Passo 5

Igualando as derivadas parciais:
Simplificando, podemos dividir ambos os lados por (assumindo que e ):
Para que essa igualdade seja válida para todos os e , os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais. Isso nos dá:
  1. Coeficiente constante:
  2. Coeficiente de :
Então, substituindo na primeira equação:

Passo 6

Com e , o fator integrante é:
Multiplicando a EDO original por :
Simplificando:

Passo 7

Com a EDO exata, podemos encontrar uma função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função arbitrária de .

Passo 8

Agora, derivamos em relação a e igualamos à :
Comparando com :
Para que isso seja válido, devemos ter:
Isolando :
No entanto, isso sugere que depende de , o que não faz sentido. Isso indica que houve um erro na integração. Vamos corrigir.

Passo 9

Na verdade, após integrar em relação a , devemos adicionar apenas uma função de que, ao derivarmos em relação a , compense eventuais dependências de . Vamos reavaliar a integração:
Derivando em relação a :
Igualando a :
Simplificando:
Ainda temos uma dependência em que não deveria estar presente. Isso sugere que precisamos revisar nosso método.

Passo 10

Peço desculpas pela confusão anterior. Vamos resolver a EDO exata de outra maneira.
Com a EDO exata multiplicada pelo fator integrante :
Podemos reescrever isso como:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a :
Igualando a :
Simplificando:
Ainda encontramos uma dependência indesejada em . Isso significa que precisamos reconsiderar a abordagem inicial.

Passo 11

Vamos tentar resolver a EDO original de uma maneira diferente, observando que ela pode ser rearranjada para uma forma linear.
A EDO original é:
Podemos reescrever como:
Ou seja:
Observamos que é uma equação diferencial de Bernoulli da forma:
Onde:

Passo 12

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição:
Calculamos a derivada de em relação a :
Rearranjando:
Substituindo na EDO:
Dividindo por :
Substituindo :
Rearranjando:

Passo 13

Agora, temos uma equação linear em termos de :
Onde:
Vamos encontrar o fator integrante :

Passo 14

Multiplicamos toda a equação pela :
Isso pode ser escrito como:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 15

Resolvendo para :
Lembrando que :
Podemos renomear a constante para para se adequar à forma apresentada na resposta:

Resposta

A solução geral da EDO é:

Exercícios relacionados