(*) Considere a EDO
Supondo que a EDO admite um fator integrante da forma
encontre
tais que a EDO resultante é EXATA.
Obtenha as soluções desta EDO.
Resposta:
Obtenha as soluções desta EDO.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma:
O objetivo é encontrar valores inteiros para
e
tais que, ao multiplicarmos a EDO por um fator integrante da forma
, a equação resultante se torne exata. Depois disso, vamos resolver essa EDO exata para encontrar a solução geral.
Conteúdos que vamos usar:
- Fator integrante para tornar a EDO exata.
- Condição de exatidão para EDOs.
- Integração de equações exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma EDO na forma geral:
é exata se satisfizer a condição:
Nossa EDO original pode ser escrita como:
Queremos encontrar
tal que a equação multiplicada por
seja exata. Então, a nova EDO será:
Passo 3
Vamos multiplicar
e
pelo fator integrante
:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição de exatidão:
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Igualando as derivadas parciais:
Simplificando, podemos dividir ambos os lados por
(assumindo que
e
):
Para que essa igualdade seja válida para todos os
e
, os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais. Isso nos dá:
-
Coeficiente constante:
-
Coeficiente de
:
Então, substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Com
e
, o fator integrante é:
Multiplicando a EDO original por
:
Simplificando:
Passo 7
Com a EDO exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à
:
Comparando com
:
Para que isso seja válido, devemos ter:
Isolando
:
No entanto, isso sugere que
depende de
, o que não faz sentido. Isso indica que houve um erro na integração. Vamos corrigir.
Passo 9
Na verdade, após integrar
em relação a
, devemos adicionar apenas uma função de
que, ao derivarmos em relação a
, compense eventuais dependências de
. Vamos reavaliar a integração:
Derivando em relação a
:
Igualando a
:
Simplificando:
Ainda temos uma dependência em
que não deveria estar presente. Isso sugere que precisamos revisar nosso método.
Passo 10
Peço desculpas pela confusão anterior. Vamos resolver a EDO exata de outra maneira.
Com a EDO exata multiplicada pelo fator integrante
:
Podemos reescrever isso como:
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Igualando a
:
Simplificando:
Ainda encontramos uma dependência indesejada em
. Isso significa que precisamos reconsiderar a abordagem inicial.
Passo 11
Vamos tentar resolver a EDO original de uma maneira diferente, observando que ela pode ser rearranjada para uma forma linear.
A EDO original é:
Podemos reescrever como:
Ou seja:
Observamos que é uma equação diferencial de Bernoulli da forma:
Onde:
Passo 12
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição:
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Rearranjando:
Substituindo na EDO:
Dividindo por
:
Substituindo
:
Rearranjando:
Passo 13
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Onde:
Vamos encontrar o fator integrante
:
Passo 14
Multiplicamos toda a equação pela
:
Isso pode ser escrito como:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 15
Resolvendo para
:
Lembrando que
:
Podemos renomear a constante
para
para se adequar à forma apresentada na resposta:
Resposta
A solução geral da EDO é: