Resolver a EDO
Resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Aqui, trabalharemos com métodos de resolução de EDOs, especificamente equações lineares. Vamos precisar reorganizar a equação e aplicar técnicas para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar a derivada
. Vamos mover os termos sem derivada para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por
para deixar
sozinho:
Passo 3
Vamos simplificar o numerador da fração:
Assim, a equação fica:
Passo 4
Podemos reescrever a equação de forma a deixar os termos de
e
mais claros:
Simplificando a fração:
Passo 5
Agora, identificamos que esta é uma equação diferencial linear da forma:
Onde aqui,
e
.
Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante
, que é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 7
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
. Ou seja:
Portanto, a equação fica:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A integral do lado direito é
. Então:
Passo 9
Finalmente, isolamos
e escrevemos a solução geral da EDO:
Resposta
Exercícios relacionados
Resolva os seguintes problemas de valor inicial envolvendo EDO de primeira ordem linear onde aparecem coeficientes descontínuos.
(a)
em que
se
e
se
.
(b)
(b)
em que
se
e
se
.
Sugestão: se é o ponto de descontinuidade, será necessário resolver a equação separadamente para
e para
. Depois, juntam-se as duas soluções de modo que a função incógnita
seja contínua em
. Isso é feito por uma escolha apropriada das constantes arbitrárias. Em cada caso é impossível tornar
contínua em
.
Respostas: (a) se
e
se
, (b)
se
e
se
.
Sugestão: se
Respostas: (a)
Resolva as seguintes equações diferenciais:
(a)
(a)
(b)(*)
©
Sugestão: (a) exata, (b), © redutíveis a equações exatas. Respostas:
(a)
(a)
(b)
©
(*) Considere a EDO
Supondo que a EDO admite um fator integrante da forma
encontre
tais que a EDO resultante é EXATA.
Obtenha as soluções desta EDO.
Resposta:
Obtenha as soluções desta EDO.
Resposta:
As EDOs de primeira ordem da forma
em que
satisfaz
são denominadas homogêneas de grau 0 . A função
é homogênea de grau
se
Para as equações homogêneas de grau 0 , o lado direito
pode ser escrito
como uma função da razão
. Então, a substituição
transforma a EDO em outra EDO para
que é separável. Com base neste idéia:
(a) Resolva a EDO
(a) Resolva a EDO
$$
\frac{d u}{d t}=\frac{u(t)-t}{u(t)+t}
\frac{1}{2} \log \left(t{2}+u{2}\right)+\operatorname{arctg}(u / t)=C
$$