Resolver a EDO
Resposta: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Aqui, trabalharemos com métodos de resolução de EDOs, especificamente equações lineares. Vamos precisar reorganizar a equação e aplicar técnicas para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar a derivada . Vamos mover os termos sem derivada para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por para deixar sozinho:

Passo 3

Vamos simplificar o numerador da fração:
Assim, a equação fica:

Passo 4

Podemos reescrever a equação de forma a deixar os termos de e mais claros:
Simplificando a fração:

Passo 5

Agora, identificamos que esta é uma equação diferencial linear da forma:
Onde aqui, e .
Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante , que é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 7

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto . Ou seja:
Portanto, a equação fica:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . A integral do lado direito é . Então:

Passo 9

Finalmente, isolamos e escrevemos a solução geral da EDO:

Resposta

Exercícios relacionados

Coeficientes com descontinuidade de salto
Resolva os seguintes problemas de valor inicial envolvendo EDO de primeira ordem linear onde aparecem coeficientes descontínuos.
(a)
em que se e se .
(b)
em que se e se .
Sugestão: se é o ponto de descontinuidade, será necessário resolver a equação separadamente para e para . Depois, juntam-se as duas soluções de modo que a função incógnita seja contínua em . Isso é feito por uma escolha apropriada das constantes arbitrárias. Em cada caso é impossível tornar contínua em .
Respostas: (a) se e se , (b) se e se .
Resolva as seguintes equações diferenciais:
(a)
(b)(*)
©
Sugestão: (a) exata, (b), © redutíveis a equações exatas. Respostas:
(a)
(b)
©
(*) Considere a EDO
Supondo que a EDO admite um fator integrante da forma
encontre tais que a EDO resultante é EXATA.
Obtenha as soluções desta EDO.
Resposta:
As EDOs de primeira ordem da forma
em que satisfaz
são denominadas homogêneas de grau 0 . A função é homogênea de grau se
Para as equações homogêneas de grau 0 , o lado direito pode ser escrito como uma função da razão . Então, a substituição transforma a EDO em outra EDO para que é separável. Com base neste idéia:
(a) Resolva a EDO
$$
\frac{d u}{d t}=\frac{u(t)-t}{u(t)+t} çããéêççãá
\frac{1}{2} \log \left(t{2}+u{2}\right)+\operatorname{arctg}(u / t)=C
$$