Resolver a EDO
Resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Aqui, trabalharemos com métodos de resolução de EDOs, especificamente equações lineares. Vamos precisar reorganizar a equação e aplicar técnicas para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar a derivada
. Vamos mover os termos sem derivada para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por
para deixar
sozinho:
Passo 3
Vamos simplificar o numerador da fração:
Assim, a equação fica:
Passo 4
Podemos reescrever a equação de forma a deixar os termos de
e
mais claros:
Simplificando a fração:
Passo 5
Agora, identificamos que esta é uma equação diferencial linear da forma:
Onde aqui,
e
.
Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante
, que é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 7
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
. Ou seja:
Portanto, a equação fica:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A integral do lado direito é
. Então:
Passo 9
Finalmente, isolamos
e escrevemos a solução geral da EDO: