Resolver a EDO
(x^2 y + y + 1) + x(1 + x^2) dy/dx = 0
Resposta: x * y(x) + arctg(x) = C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Aqui, trabalharemos com métodos de resolução de EDOs, especificamente equações lineares. Vamos precisar reorganizar a equação e aplicar técnicas para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar a derivada . Vamos mover os termos sem derivada para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por para deixar sozinho:

Passo 3

Vamos simplificar o numerador da fração:
Assim, a equação fica:

Passo 4

Podemos reescrever a equação de forma a deixar os termos de y e mais claros:
Simplificando a fração:

Passo 5

Agora, identificamos que esta é uma equação diferencial linear da forma:
Onde aqui, e .
Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante mu(x), que é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 7

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto x y. Ou seja:
Portanto, a equação fica:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a x:
A integral do lado esquerdo é simplesmente x y. A integral do lado direito é . Então:

Passo 9

Finalmente, isolamos x y e escrevemos a solução geral da EDO:

Resposta

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