(*) Resolva o problema de valor inicial
e esboce o gráfico de
, que descreve a evolução com o tempo de uma população segundo o modelo de Gompertz (empregado para modelar crescimentos celulares em plantas, bactérias, tumores, etc).
Explique brevemente este modelo.
Qual é o valor da população limite ?
Sugestão: Fazer a mudança de variável
, que produz uma EDO separável para
.
Resposta:
Explique brevemente este modelo.
Qual é o valor da população limite ?
Sugestão: Fazer a mudança de variável
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A questão envolve uma equação diferencial que modela o crescimento de uma população segundo o modelo de Gompertz, usado para descrever o crescimento de células em plantas, bactérias, tumores e outros. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais, especialmente a mudança de variável para tornar a equação separável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
Aqui,
representa a população no tempo
, e a equação descreve como essa população muda com o tempo.
Passo 3
A dica é fazer uma mudança de variável para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original, temos:
Simplificando o lado direito:
Podemos dividir ambos os lados por
(que nunca é zero):
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, podemos rearranjar os termos:
Passo 6
Vamos encontrar o fator integrante. A equação está na forma:
Onde
e
. O fator integrante
é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pela
:
O lado esquerdo agora é a deriva total de
:
Passo 8
Integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 10
Vamos resolver para
:
Podemos reescrever
como uma nova constante
, então:
Passo 11
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Tomando o logaritmo natural:
Passo 12
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A solução do problema é