(*) Resolva o problema de valor inicial
e esboce o gráfico de , que descreve a evolução com o tempo de uma população segundo o modelo de Gompertz (empregado para modelar crescimentos celulares em plantas, bactérias, tumores, etc).
Explique brevemente este modelo.
Qual é o valor da população limite ?
Sugestão: Fazer a mudança de variável , que produz uma EDO separável para .
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A questão envolve uma equação diferencial que modela o crescimento de uma população segundo o modelo de Gompertz, usado para descrever o crescimento de células em plantas, bactérias, tumores e outros. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais, especialmente a mudança de variável para tornar a equação separável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
Aqui, representa a população no tempo , e a equação descreve como essa população muda com o tempo.

Passo 3

A dica é fazer uma mudança de variável para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que . Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituindo e na equação original, temos:
Simplificando o lado direito:
Podemos dividir ambos os lados por (que nunca é zero):

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, podemos rearranjar os termos:

Passo 6

Vamos encontrar o fator integrante. A equação está na forma:
Onde e . O fator integrante é dado por:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pela :
O lado esquerdo agora é a deriva total de :

Passo 8

Integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:

Passo 10

Vamos resolver para :
Podemos reescrever como uma nova constante , então:

Passo 11

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Dividindo ambos os lados por :
Tomando o logaritmo natural:

Passo 12

Substituindo na expressão de :

Resposta

A solução do problema é

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Determinar os pontos críticos da função dada e classifique-os em ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão:
(b)
(Diluição de soluções) Um reservatório contendo litros de água pura começa a receber uma solução de água salgada ( de sal por litro de solução) a uma razão constante de litros por segundo.
Um mecanismo de agitação no reservatório mantém homogênea a solução que vai sendo formada. Simultaneamente ao processo de injeção de água salgada, retira-se do reservatório a solução formada na razão de litros por segundo.
(a) Determine a quantidade de sal no reservatório num instante futuro.
(b) Determine o valor limite para a concentração de sal na solução.
Sugestão: Seja a quantidade de sal (em kg) presente no reservatório em um instante de tempo . Inicialmente, . No texto podemos determinar em cada instante de tempo a taxa de variação de com o tempo como o resultado da diferença entre a quantidade de sal que entra no reservatório por unidade de tempo menos a quantidade de sal que sai do reservatório por unidade de tempo.
Resposta:
Resolva as seguintes equações diferenciais:
(a)
(b)(*)
©
Sugestão: (a) exata, (b), © redutíveis a equações exatas. Respostas:
(a)
(b)
©
Coeficientes com descontinuidade de salto
Resolva os seguintes problemas de valor inicial envolvendo EDO de primeira ordem linear onde aparecem coeficientes descontínuos.
(a)
em que se e se .
(b)
em que se e se .
Sugestão: se é o ponto de descontinuidade, será necessário resolver a equação separadamente para e para . Depois, juntam-se as duas soluções de modo que a função incógnita seja contínua em . Isso é feito por uma escolha apropriada das constantes arbitrárias. Em cada caso é impossível tornar contínua em .
Respostas: (a) se e se , (b) se e se .