(*) Resolva o problema de valor inicial
d p/d t = 2 p(t) - p ln(p), p(0) = exp(1)
e esboce o gráfico de p = p(t), que descreve a evolução com o tempo de uma população segundo o modelo de Gompertz (empregado para modelar crescimentos celulares em plantas, bactérias, tumores, etc).
Explique brevemente este modelo.
Qual é o valor da população limite ?
Sugestão: Fazer a mudança de variável z = ln(p), que produz uma EDO separável para z(t).
Resposta:
p(t) = exp(2) * (1/e)^(exp(-t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A questão envolve uma equação diferencial que modela o crescimento de uma população segundo o modelo de Gompertz, usado para descrever o crescimento de células em plantas, bactérias, tumores e outros. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais, especialmente a mudança de variável para tornar a equação separável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
Aqui, representa a população no tempo , e a equação descreve como essa população muda com o tempo.

Passo 3

A dica é fazer uma mudança de variável para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que . Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituindo e na equação original, temos:
Simplificando o lado direito:
Podemos dividir ambos os lados por (que nunca é zero):

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, podemos rearranjar os termos:

Passo 6

Vamos encontrar o fator integrante. A equação está na forma:
Onde e . O fator integrante é dado por:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pela :
O lado esquerdo agora é a deriva total de :

Passo 8

Integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:

Passo 10

Vamos resolver para :
Podemos reescrever como uma nova constante , então:

Passo 11

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Dividindo ambos os lados por :
Tomando o logaritmo natural:

Passo 12

Substituindo na expressão de :

Resposta

A solução do problema é

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