Coeficientes Descontínuos. Algumas vezes ocorrem equações diferenciais lineares com uma ou ambas as funções p e g tendo descontinuidades do tipo salto. Se t0 é tal ponto de descontinuidade, é necessário resolver a equação separadamente para t < t0 e para t > t0. Depois, juntam-se as duas soluções de modo que y seja contínua em t0. Isto é feito por uma escolha apropriada das constantes arbitrárias. Os dois problemas a seguir ilustram essa situação. Note em cada caso que é impossível tornar y' contínua em t0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre Coeficientes Descontínuos em equações diferenciais lineares. O que isso significa? Basicamente, temos uma equação onde pelo menos uma das funções, como ou , tem um salto em algum ponto . Para resolver isso, vamos precisar dividir a equação em duas partes: uma para e outra para . Depois, vamos juntar as soluções garantindo que seja contínua em . Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares e entender como tratar descontinuidades.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a equação diferencial separadamente para e para . Suponha que nossa equação seja da forma:
Onde e têm um salto em . Vamos resolver para cada intervalo.

Passo 3

Para , temos uma equação diferencial linear comum. Podemos usar o fator integrante para resolver. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por e integramos para encontrar a solução geral .

Passo 4

Agora, para , a equação pode ter valores diferentes para e devido à descontinuidade. Repetimos o processo do fator integrante:
Multiplicamos a equação por e integramos para obter a solução geral .

Passo 5

Depois de ter as soluções e , precisamos garantir que seja contínua em . Ou seja, o valor de quando se aproxima de pela esquerda deve ser igual ao valor quando se aproxima pela direita:
Isso nos ajuda a determinar as constantes arbitrárias que surgiram nas soluções gerais.

Passo 6

Finalmente, juntamos as duas soluções ajustadas para obter a solução completa da equação diferencial em todo o domínio. É importante notar que, mesmo ajustando para ser contínuo, a derivada geralmente terá uma descontinuidade em , o que está de acordo com o enunciado.

Resposta

Seguindo esses passos, conseguimos resolver equações diferenciais lineares com coeficientes descontínuos, assegurando a continuidade da solução no ponto de descontinuidade .

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