Coeficientes Descontínuos. Algumas vezes ocorrem equações diferenciais lineares com uma ou ambas as funções
e
tendo descontinuidades do tipo salto. Se
é tal ponto de descontinuidade, é necessário resolver a equação separadamente para
e para
. Depois, juntam-se as duas soluções de modo que
seja contínua em
. Isto é feito por uma escolha apropriada das constantes arbitrárias. Os dois problemas a seguir ilustram essa situação. Note em cada caso que é impossível tornar
contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre Coeficientes Descontínuos em equações diferenciais lineares. O que isso significa? Basicamente, temos uma equação onde pelo menos uma das funções, como
ou
, tem um salto em algum ponto
. Para resolver isso, vamos precisar dividir a equação em duas partes: uma para
e outra para
. Depois, vamos juntar as soluções garantindo que
seja contínua em
. Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares e entender como tratar descontinuidades.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a equação diferencial separadamente para
e para
. Suponha que nossa equação seja da forma:
Onde
e
têm um salto em
. Vamos resolver para cada intervalo.
Passo 3
Para
, temos uma equação diferencial linear comum. Podemos usar o fator integrante para resolver. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
e integramos para encontrar a solução geral
.
Passo 4
Agora, para
, a equação pode ter valores diferentes para
e
devido à descontinuidade. Repetimos o processo do fator integrante:
Multiplicamos a equação por
e integramos para obter a solução geral
.
Passo 5
Depois de ter as soluções
e
, precisamos garantir que
seja contínua em
. Ou seja, o valor de
quando
se aproxima de
pela esquerda deve ser igual ao valor quando se aproxima pela direita:
Isso nos ajuda a determinar as constantes arbitrárias que surgiram nas soluções gerais.
Passo 6
Finalmente, juntamos as duas soluções ajustadas para obter a solução completa da equação diferencial em todo o domínio. É importante notar que, mesmo ajustando
para ser contínuo, a derivada
geralmente terá uma descontinuidade em
, o que está de acordo com o enunciado.
Resposta
Seguindo esses passos, conseguimos resolver equações diferenciais lineares com coeficientes descontínuos, assegurando a continuidade da solução
no ponto de descontinuidade
.