Considere a função f(x) = cos(pi/2 * x). Defina as sequências {a_n}_{n=1}^{+\infty} e {b_n}_{n=1}^{+\infty}, por a_n = f(2 * n) e b_n = f(2n + 1)
{f(n)}_{n=1}^{+\infty} converge ? Se convergir, encontre o limite.

Passo 1

Beleza, então a gente tem a função . O exercício pede pra gente analisar as sequências e , definidas por e . Basicamente, queremos saber se a sequência geral converge, e se sim, qual é o limite. Vamos precisar lembrar como funciona o cosseno e como sequências convergem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Substituindo:
Sabemos que alterna entre 1 e -1 conforme aumenta, porque:
Então, é uma sequência que alterna entre 1 e -1. Como ela não se aproxima de um único valor quando cresce, não converge.

Passo 3

Agora, vamos calcular . Substituindo:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Sabemos que para todo inteiro , então:
Isso significa que toda sequência é constante igual a zero.

Passo 4

Agora, analisando a sequência geral , que é . Observe que para números inteiros:
  • Se é par, , onde .
  • Se é ímpar, , onde .
Portanto, a sequência alterna entre 1, -1 e 0 dependendo se é par ou ímpar.

Passo 5

Para uma sequência convergir, os termos devem se aproximar cada vez mais de um único valor quando tende ao infinito. No caso da nossa sequência :
  • Os termos pares alternam entre 1 e -1, sem se estabilizar.
  • Os termos ímpares sempre são 0.
Como os termos não se aproximam de um único valor, a sequência não converge.

Resposta

A sequência não converge.

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