Considere a função
. Defina as sequências
e
, por
e
converge ? Se convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, então a gente tem a função
. O exercício pede pra gente analisar as sequências
e
, definidas por
e
. Basicamente, queremos saber se a sequência geral
converge, e se sim, qual é o limite. Vamos precisar lembrar como funciona o cosseno e como sequências convergem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Substituindo:
Sabemos que
alterna entre 1 e -1 conforme
aumenta, porque:
Então,
é uma sequência que alterna entre 1 e -1. Como ela não se aproxima de um único valor quando
cresce,
não converge.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Substituindo:
Usando a identidade trigonométrica
, temos:
Sabemos que
para todo inteiro
, então:
Isso significa que toda sequência
é constante igual a zero.
Passo 4
Agora, analisando a sequência geral
, que é
. Observe que para números
inteiros:
- Se
é par, , onde . - Se
é ímpar, , onde .
Portanto, a sequência
alterna entre 1, -1 e 0 dependendo se
é par ou ímpar.
Passo 5
Para uma sequência convergir, os termos devem se aproximar cada vez mais de um único valor quando
tende ao infinito. No caso da nossa sequência
:
- Os termos pares
alternam entre 1 e -1, sem se estabilizar. - Os termos ímpares
sempre são 0.
Como os termos não se aproximam de um único valor, a sequência
não converge.
Resposta
A sequência
não converge.