Resolva o problema de valor inicial
em que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado nos dá a equação
com a condição inicial
, onde
é uma função que vale 1 quando
e 0 quando
. Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação diferencial e lidar com a função
que muda de valor em
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial para o intervalo
, onde
. A equação fica:
Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Integrando os dois lados em relação a
:
Resolvendo para
:
Aplicamos a condição inicial
:
Então, a solução no primeiro intervalo é:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
, onde
. A equação diferencial fica:
Essa é uma equação diferencial homogênea. A solução geral é:
Para encontrar a constante
, usamos a continuidade da solução em
. Calculamos
na primeira solução:
Essa será a condição inicial para o segundo intervalo. Assim:
Portanto, a solução para
é:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é dada por