Resolva o problema de valor inicial
y' + 2y = g(t), y(0) = 0
em que
g(t) = { 1, 0 <= t <= 1; 0, t > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado nos dá a equação com a condição inicial , onde é uma função que vale 1 quando e 0 quando . Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação diferencial e lidar com a função que muda de valor em .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial para o intervalo , onde . A equação fica:
Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada de :
Integrando os dois lados em relação a :
Resolvendo para :
Aplicamos a condição inicial :
Então, a solução no primeiro intervalo é:

Passo 3

Agora, vamos resolver para , onde . A equação diferencial fica:
Essa é uma equação diferencial homogênea. A solução geral é:
Para encontrar a constante , usamos a continuidade da solução em . Calculamos na primeira solução:
Essa será a condição inicial para o segundo intervalo. Assim:
Portanto, a solução para é:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é dada por

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