Resolva os pri dy/dx = (1 + y^2) * tg(x), y(0) = raiz(3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Ordinárias, e vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis para resolver.

Passo 2

O próximo passo é separar as variáveis e para facilitar a integração. Vamos reorganizar a equação:
Aqui, movemos o para o denominador do lado esquerdo para isolar .

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é uma forma padrão que resulta em um arco-tangente, e a integral do lado direito envolve a função tangente.

Passo 4

Calculando as integrais:
Aqui, é a constante de integração. Usamos a identidade .

Passo 5

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo e na equação:
Sabemos que e , então:

Passo 6

Com a constante encontrada, substituímos de volta na equação:
Para isolar , aplicamos a função tangente dos dois lados:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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