Um cofre de 260 kg deve descer com velocidade constante sobre uma rampa de 20,0 m de comprimento do alto de um caminhão de 2,0 m de altura. (a) Se o coeficiente de atrito cinético (muc) entre o cofre e a rampa for igual a 0,25 , o cofre deve ser empurrado para cima ou para baixo ? (b) Qual seria a força necessária paralela à rampa ? Resp: Empurrado para baixo, com F=379 N.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que tá rolando nesse exercício! A gente tem um cofre de 260 kg que precisa descer com velocidade constante por uma rampa que tem 20,0 metros de comprimento e começa no alto de um caminhão que está a 2,0 metros de altura. A matéria que vamos usar aqui é Mecânica, especificamente os conceitos de forças, atrito e movimento uniforme. Vamos precisar usar a fórmula do atrito cinético e entender como as forças se equilibram para manter a velocidade constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a inclinação da rampa. Sabemos que a rampa tem 20,0 m de comprimento e sobe até uma altura de 2,0 m. Para encontrar o ângulo de inclinação da rampa ( sin(theta) = a), podemos usar a relação trigonométrica:
theta = arcsin(0,1) approx 5,74^circ
Então,

Passo 3

Agora, vamos analisar as forças que atuam no cofre enquanto ele desce a rampa com velocidade constante. Quando a velocidade é constante, a aceleração é zero, o que significa que as forças que atuam na direção da rampa estão equilibradas.
As forças envolvidas são:
  1. Força da Gravidade ( ): Puxa o cofre para baixo.
  2. Força de Atrito Cinético ( ): Resiste ao movimento.
  3. Força Aplicada ( ): Pode ser empurrar para cima ou para baixo para manter a velocidade constante.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas forças:
  1. Força da Gravidade na direção da rampa ( Fg,paral<=l = m cdot g cdot sin(theta) ):
Fg,paral<=l = 260 cdot 9,8 cdot 0,1 = 254,8, N
Onde:
  • fc = muc cdot N
  • N = m cdot g cdot cos(theta)
  • cos(theta) = raiz1 - sin^2(theta) = raiz1 - 0,01 = raiz0,99 approx 0,995
N = 260 cdot 9,8 cdot 0,995 approx 2539,7, N
  1. Força de Atrito Cinético ( fc = 0,25 cdot 2539,7 approx 634,9, N ):
Onde:
  • é a força normal, que é:
Então,

Passo 5

Agora, para que o cofre desça com velocidade constante, a força que aplicamos ( F - Fg,paral<=l - fc = 0 ) deve equilibrar a soma das forças da gravidade e do atrito. A equação fica assim:
F = Fg,paral<=l + fc = 254,8, N + 634,9, N = 889,7, N
Resolvendo para :

Passo 6

Mas peraí, temos que considerar a direção da força aplicada. Se a gente empurrar para baixo, a força adicional ajuda a equilibrar as forças contrárias. Mas o resultado que a gente quer é uma força menor que F = fc - Fg,paral<=l , pois a força que empurramos ajuda a manter a velocidade constante sem precisar de tanto esforço.
Vamos revisar nosso cálculo:
Na verdade, a força necessária para manter a velocidade constante pode ser encontrada rearranjando a equação:
F = 634,9, N - 254,8, N = 380,1, N
Isso significa que precisamos aplicar uma força para baixo na rampa para equilibrar as forças e manter a velocidade constante.

Resposta

Empurrado para baixo, com .

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