O colar A, com massa de 0,75 kg, está preso a uma mola com rigidez k=200 N / m. Quando a barra B C gira em torno do eixo vertical, o colar desliza para fora ao longo da barra lisa D E. Se a mola está na posição não alongada quando s=0, determine a velocidade constante do colar a fim de que s=100 mm. Além disso, qual é a força normal da barra sobre o colar? Desnreze o tamanho do colar.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um colar de massa 0,75,kg preso a uma mola com constante elástica k = 200,N/m. Quando a barra BC gira em torno de um eixo vertical, o colar desliza ao longo da barra DE, que é lisa (ou seja, sem atrito). A mola não está alongada quando a distância s = 0. Precisamos encontrar:
  1. A velocidade constante do colar para que ele esteja a s = 100,mm de distância.
  2. A força normal que a barra exerce sobre o colar.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de movimento circular uniforme e equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
  • s = 100,mm = 0,1,m

Passo 3

Quando o colar está em movimento circular uniforme, ele está sujeito a duas forças principais:
  1. Força da mola ( Fmola): que puxa o colar de volta para a posição de equilíbrio.
  2. Força centrípeta ( Fcentrípetaí): necessária para manter o movimento circular, fornecida pela componente horizontal da força normal.
A mola exerce uma força proporcional ao seu alongamento, dada por:
Fmola = k cdot s
Substituindo os valores:
Fmola = 200,N/m times 0,1,m = 20,N

Passo 4

Agora, vamos considerar as forças atuantes no colar:
  • Força da mola ( Fmola): na direção radial, puxando o colar para o centro.
  • Força normal ( N): perpendicular à barra, que tem componentes horizontal e vertical.
  • Peso do colar ( P): para baixo, dado por P = m cdot g, onde g = 9,81,m/s^2.
Como a barra é lisa, não há atrito.

Passo 5

Vamos decompor a força normal em duas componentes:
  1. Componente vertical ( Ny): Equilibrada pelo peso do colar.
  2. Componente horizontal ( Nx): Fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.
Assim, temos:
Ny = P = m cdot g
Nx = Fcentrípeta = m cdot v^2r í
Onde:
  • m = 0,75,kg
  • v é a velocidade que queremos encontrar
  • r = s = 0,1,m

Passo 6

Primeiro, calculamos o peso do colar:
P = m cdot g = 0,75,kg times 9,81,m/s^2 = 7,3575,N

Passo 7

Sabemos que a força da mola é 20,N e ela equilibra a componente horizontal da força normal:
Fmola = Nx = m cdot v^2r
Então:
20,N = 0,75,kg cdot v^20,1,m

Passo 8

Agora, vamos resolver para v:
Multiplicando ambos os lados por 0,1,m:
20,N times 0,1,m = 0,75,kg cdot v^2
2,N cdot m = 0,75,kg cdot v^2
Dividindo ambos os lados por 0,75,kg:
2,N cdot m0,75,kg = v^2
v^2 = 20,75 approx 2,6667,m^2/s^2
Tomando a raiz quadrada:
v = raiz2,6667,m^2/s^2 approx 1,633,m/s

Passo 9

Agora, vamos determinar a força normal ( N). Sabemos que:
Ny = P = 7,3575,N
E que a força normal também possui uma componente horizontal que equilibra a força da mola:
Nx = 20,N
A força normal total é a soma vetorial dessas componentes:
N = raizNx^2 + Ny^2
Substituindo os valores:
N = raiz(20,N)^2 + (7,3575,N)^2 approx raiz400 + 54,17 approx raiz454,17 approx 21,31,N

Resposta

A velocidade constante do colar é aproximadamente 1,63,m/s e a força normal da barra sobre o colar é de cerca de 21,31,N.

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