O colar
, com massa de
, está preso a uma mola com rigidez
. Quando a barra
gira em torno do eixo vertical, o colar desliza para fora ao longo da barra lisa
. Se a mola está na posição não alongada quando
, determine a velocidade constante do colar a fim de que
. Além disso, qual é a força normal da barra sobre o colar? Desnreze o tamanho do colar.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um colar de massa
preso a uma mola com constante elástica
. Quando a barra
gira em torno de um eixo vertical, o colar desliza ao longo da barra
, que é lisa (ou seja, sem atrito). A mola não está alongada quando a distância
. Precisamos encontrar:
- A velocidade constante do colar para que ele esteja a
de distância. - A força normal que a barra exerce sobre o colar.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de movimento circular uniforme e equilíbrio de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
Passo 3
Quando o colar está em movimento circular uniforme, ele está sujeito a duas forças principais:
- Força da mola (
): que puxa o colar de volta para a posição de equilíbrio. - Força centrípeta (
): necessária para manter o movimento circular, fornecida pela componente horizontal da força normal.
A mola exerce uma força proporcional ao seu alongamento, dada por:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos considerar as forças atuantes no colar:
- Força da mola (
): na direção radial, puxando o colar para o centro. - Força normal (
): perpendicular à barra, que tem componentes horizontal e vertical. - Peso do colar (
): para baixo, dado por , onde .
Como a barra é lisa, não há atrito.
Passo 5
Vamos decompor a força normal em duas componentes:
- Componente vertical (
): Equilibrada pelo peso do colar. - Componente horizontal (
): Fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.
Assim, temos:
Onde:
-
-
é a velocidade que queremos encontrar -
Passo 6
Primeiro, calculamos o peso do colar:
Passo 7
Sabemos que a força da mola é
e ela equilibra a componente horizontal da força normal:
Então:
Passo 8
Agora, vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por
:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 9
Agora, vamos determinar a força normal (
). Sabemos que:
E que a força normal também possui uma componente horizontal que equilibra a força da mola:
A força normal total é a soma vetorial dessas componentes:
Substituindo os valores:
Resposta
A velocidade constante do colar é aproximadamente
e a força normal da barra sobre o colar é de cerca de
.