O módulo
da densidade de corrente em um fio cilíndrico com 2,00 mm de raio é dado por
, onde
é a distância do centro do fio em metros e
. Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio, com
de largura, situado a
do centro do fio?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um fio cilíndrico com raio de 2,00 mm, e a densidade de corrente nele é dada por $ J® = B r $, onde $ r $ é a distância do centro do fio. Queremos descobrir qual é a corrente que passa por um anel que está a 1,20 mm do centro do fio, com uma largura de 10,0 μm. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de densidade de corrente e integração em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as medidas para o mesmo sistema de unidades (metros):
- Raio do fio: 2,00 mm = $ 2,00 \times 10^{-3} $ m
- Distância do anel ao centro: 1,20 mm = $ 1,20 \times 10^{-3} $ m
- Largura do anel: 10,0 μm = $ 10,0 \times 10^{-6} $ m
Passo 3
A corrente que passa pelo anel pode ser encontrada integrando a densidade de corrente $ J® $ sobre a área do anel. A densidade de corrente $ J® $ nos diz quanta corrente passa por uma área unitária em uma determinada posição $ r $.
Passo 4
Para calcular a corrente $ I $ através do anel, usamos a fórmula:
Aqui, $ 2\pi r , dr $ representa um anel infinitesimal de área no cilindro.
Passo 5
Determinar os limites de integração $ r_1 $ e $ r_2 $. Como o anel tem uma largura de 10,0 μm e está centrado a 1,20 mm, temos:
Passo 6
Substituir $ J® = B r $ na integral:
Passo 7
Calcular a integral de $ r^2 $ em relação a $ r $:
Então,
Passo 8
Fatorar o $ \frac{1}{3} $:
Passo 9
Calcular os valores cúbicos:
Passo 10
Subtrair os valores:
Passo 11
Substituir de volta na fórmula da corrente:
Passo 12
Calcular os valores numéricos:
Resposta
A corrente que passa pelo anel é aproximadamente $ 1,84 \times 10^{-3} $ A.