O módulo J(r) da densidade de corrente em um fio cilíndrico com 2,00 mm de raio é dado por J(r)=B r, onde r é a distância do centro do fio em metros e B=2,00 times 10^5 A / m^7. Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio, com 10,0 mu m de largura, situado a 1,20 mm do centro do fio?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um fio cilíndrico com raio de 2,00 mm, e a densidade de corrente nele é dada por $ J® = B r $, onde $ r $ é a distância do centro do fio. Queremos descobrir qual é a corrente que passa por um anel que está a 1,20 mm do centro do fio, com uma largura de 10,0 μm. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de densidade de corrente e integração em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as medidas para o mesmo sistema de unidades (metros):
  • Raio do fio: 2,00 mm = $ 2,00 \times 10^{-3} $ m
  • Distância do anel ao centro: 1,20 mm = $ 1,20 \times 10^{-3} $ m
  • Largura do anel: 10,0 μm = $ 10,0 \times 10^{-6} $ m

Passo 3

A corrente que passa pelo anel pode ser encontrada integrando a densidade de corrente $ J® $ sobre a área do anel. A densidade de corrente $ J® $ nos diz quanta corrente passa por uma área unitária em uma determinada posição $ r $.

Passo 4

Para calcular a corrente $ I $ através do anel, usamos a fórmula:
I
Aqui, $ 2\pi r , dr $ representa um anel infinitesimal de área no cilindro.

Passo 5

Determinar os limites de integração $ r_1 $ e $ r_2 $. Como o anel tem uma largura de 10,0 μm e está centrado a 1,20 mm, temos:
r1
r2

Passo 6

Substituir $ J® = B r $ na integral:
J(r) = B r

Passo 7

Calcular a integral de $ r^2 $ em relação a $ r $:
r^2
Então,
r

Passo 8

Fatorar o $ \frac{1}{3} $:
13

Passo 9

Calcular os valores cúbicos:
(1,205 times 10^-3)^3 = 1,205^3 times 10^-9 approx 1,749 times 10^-9 , m^3
(1,195 times 10^-3)^3 = 1,195^3 times 10^-9 approx 1,705 times 10^-9 , m^3

Passo 10

Subtrair os valores:
1,749 times 10^-9 - 1,705 times 10^-9 = 0,044 times 10^-9 , m^3

Passo 11

Substituir de volta na fórmula da corrente:
I = 2pi times 2,00 times 10^53 times 0,044 times 10^-9
I = 4pi times 10^53 times 0,044 times 10^-9

Passo 12

Calcular os valores numéricos:
4pi3 approx 4,1888
I = 4,1888 times 10^5 times 0,044 times 10^-9
I approx 1,844 times 10^-3 , A

Resposta

A corrente que passa pelo anel é aproximadamente $ 1,84 \times 10^{-3} $ A.

Exercícios relacionados