Um fio de cobre com calibre 18 (geralmente usado nos fios que ligam lâmpadas) possui um diâmetro nominal igual a 1,02 mm. Esse fio está conectado a uma lâmpada de 200 W e conduz uma corrente de 1,67 A. A densidade dos elétrons livres é de 8,5 times 10^28 elétrons por metro cúbico. Calcule os módulos (a) da densidade de corrente e (b) da velocidade de arraste.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um fio de cobre de calibre 18, com diâmetro de 1,02 mm, ligado a uma lâmpada de 200 W que passa uma corrente de 1,67 A. Além disso, a densidade de elétrons livres no cobre é 8,5 times 10^28 elétrons/m^3é. A gente vai calcular duas coisas:
a) A densidade de corrente ( J)
b) A velocidade de arraste dos elétrons ( vd)
Para isso, vamos precisar usar conceitos de corrente elétrica e como os elétrons se movem no material condutor. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade de corrente ( J). A densidade de corrente é basicamente a quantidade de corrente que passa por uma área específica do fio. A fórmula é:
J = IA
onde:
  • I é a corrente elétrica ( 1,67 A)
  • A é a área da seção transversal do fio

Passo 3

Precisamos encontrar a área da seção transversal do fio. Como o fio é circular, usamos a fórmula da área do círculo:
A = pi r^2
Primeiro, vamos encontrar o raio ( r). O diâmetro é 1,02 mm, então:
r = d2 = 1,02 mm2 = 0,51 mm = 0,51 times 10^-3 m

Passo 4

Agora, calculando a área:
A = pi (0,51 times 10^-3 m)^2 approx pi times 0,2601 times 10^-6 m^2 approx 0,817 times 10^-6 m^2
Ou seja, A approx 8,17 times 10^-7 m^2.

Passo 5

Com a área conhecida, vamos calcular a densidade de corrente:
J = IA = 1,67 A8,17 times 10^-7 m^2 approx 2,045 times 10^6 A/m^2

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) e calcular a velocidade de arraste ( vd) dos elétrons. A fórmula é:
vd = Jn e
onde:
  • J é a densidade de corrente ( 2,045 times 10^6 A/m^2)
  • n é a densidade de elétrons livres ( 8,5 times 10^28 elétrons/m^3é)
  • e é a carga elementar ( 1,6 times 10^-19 C)

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
vd = 2,045 times 10^6 A/m^28,5 times 10^28 elétrons/m^3 times 1,6 times 10^-19 C é
Primeiro, calculamos o denominador:
8,5 times 10^28 times 1,6 times 10^-19 = 13,6 times 10^9 C/m^3

Passo 8

Agora, dividindo o numerador pelo denominador:
vd = 2,045 times 10^613,6 times 10^9 approx 1,503 times 10^-4 m/s

Resposta

a) A densidade de corrente é aproximadamente 2,05 times 10^6 A/m^2.
b) A velocidade de arraste dos elétrons é cerca de 1,50 times 10^-4 m/s.

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