1. ( 2,0 pontos) Como é afetada pela duplicação da amplitude cada uma das seguintes propriedades de um oscilador harmônico simples : (a) o período, (b) constante elástica, © a energia mecânica total, (d) velocidade máxima e (e) a aceleração máxima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre as propriedades de um oscilador harmônico simples quando duplicamos a amplitude. A questão pede para analisar como a duplicação da amplitude afeta:
a) O período
b) A constante elástica
c) A energia mecânica total
d) A velocidade máxima
e) A aceleração máxima
Para isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas propriedades significa e como elas estão relacionadas com a amplitude em um oscilador harmônico simples.

Passo 2

a) O período
Primeiro, vamos ver o que é o período. O período $ T $ é o tempo que o oscilador leva para completar uma oscilação completa. A fórmula do período para um oscilador harmônico simples é:
T
onde $ m $ é a massa e $ k $ é a constante elástica.
Observamos que o período $ T $ depende apenas da massa $ m $ e da constante elástica $ k $, e não depende da amplitude $ A $. Então, se duplicarmos a amplitude, o período não muda.

Passo 3

b) A constante elástica
A constante elástica $ k $ é uma propriedade do sistema que mede a rigidez da mola ou do sistema elástico. Ela está relacionada com a força restauradora pela lei de Hooke:
k
onde $ x $ é o deslocamento da posição de equilíbrio.
A constante elástica $ k $ é uma característica intrínseca do sistema e não é afetada pela amplitude da oscilação. Assim, duplicar a amplitude não altera a constante elástica.

Passo 4

c) A energia mecânica total
A energia mecânica total $ E $ em um oscilador harmônico simples é a soma da energia cinética máxima e da energia potencial máxima. Ela pode ser expressa como:
E
Onde $ A $ é a amplitude.
Se duplicarmos a amplitude, ou seja, $ A’ = 2A $, a nova energia mecânica $ E’ $ será:
E = 12 k A^2
Portanto, a energia mecânica total quadruplica quando a amplitude é duplicada.

Passo 5

d) A velocidade máxima
A velocidade máxima $ v_{máx} $ em um oscilador harmônico simples ocorre quando a partícula passa pela posição de equilíbrio. A fórmula para a velocidade máxima é:
vmáx á
onde $ \omega $ é a frequência angular.
Sabemos que $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $, que não depende da amplitude. Então, se a amplitude $ A $ é duplicada, a nova velocidade máxima $ v’_{máx} $ será:
vmáx = omega A áá
Ou seja, a velocidade máxima dobra quando a amplitude é duplicada.

Passo 6

e) A aceleração máxima
A aceleração máxima $ a_{máx} $ ocorre nas extremidades da oscilação, onde a força restauradora é máxima. A fórmula para a aceleração máxima é:
amáx á
Como $ \omega^2 = \frac{k}{m} $, a aceleração máxima também não depende da amplitude. Contudo, como $ a_{máx} $ é proporcional à amplitude $ A $, se duplicarmos $ A $, teremos:
amáx = omega^2 A áá
Portanto, a aceleração máxima dobra quando a amplitude é duplicada.

Resposta

a) O período não é afetado; permanece o mesmo.
b) A constante elástica não é afetada; permanece a mesma.
c) A energia mecânica total quadruplica.
d) A velocidade máxima dobra.
e) A aceleração máxima dobra.

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