Um colega estudante com queda para matemática the diz que a função de onda de uma onda progressiva em uma corda fina é:
Sendo mais prático, você mede a corda para que ela tenha um comprimento de
e uma massa de 0,00338 kg. Pede-se, então, que você calcule: a) amplitude; b) frequência; c) comprimento de onda; d) velocidade da onda; e) sentido em que a onda se desloca; f) tensão na corda; g) potência média transmitida pela onda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a função de onda de uma corda fina, dada por:
O conteúdo envolve ondas mecânicas em cordas, e vamos precisar entender conceitos como amplitude, frequência, comprimento de onda, velocidade da onda, direção de propagação, tensão na corda e potência transmitida. Vamos resolver passo a passo cada item solicitado.
Passo 2
a) Amplitude
A amplitude é a máxima deslocação das partículas da corda em relação à posição de equilíbrio. Basicamente, indica quão “forte” é a onda.
Na função de onda dada:
A amplitude é o coeficiente que multiplica o cosseno, ou seja, 2,3 mm.
Passo 3
b) Frequência
A frequência é o número de oscilações que a onda realiza por segundo, medida em Hertz (Hz).
Na função de onda, o termo que está multiplicando o tempo
é a frequência angular
:
A relação entre frequência angular e frequência é:
Então, isolando
:
Passo 4
c) Comprimento de Onda
O comprimento de onda
é a distância entre dois pontos consecutivos da onda que estão em fase, como dois picos.
Na função de onda, o termo que multiplica
é o número de onda
:
A relação entre
e
é:
Isolando
:
Passo 5
d) Velocidade da Onda
A velocidade da onda
é a rapidez com que a onda se propaga pela corda.
Sabemos que:
Já calculamos
e
, então:
Passo 6
e) Sentido em que a Onda se Desloca
A direção de propagação da onda pode ser determinada observando o sinal do termo que multiplica
na função de onda.
A função dada é:
Como o termo de
está adicionado (
), a onda se propaga no sentido negativo do eixo
.
Passo 7
f) Tensão na Corda
A tensão
na corda pode ser encontrada usando a relação entre massa linear
, velocidade da onda
e tensão:
Primeiro, calculamos a massa linear
:
Rearranjando a fórmula para
:
Passo 8
g) Potência Média Transmitida pela Onda
A potência média
transmitida pela onda é dada por:
Já temos
,
,
e
.
Substituindo:
Calculando passo a passo:
Resposta
a) Amplitude: 2,3 mm
b) Frequência: ≈1,18 Hz
c) Comprimento de onda: ≈0,900 m
d) Velocidade da onda: ≈1,06 m/s
e) Sentido da propagação: sentido negativo do eixo x
f) Tensão na corda: ≈0,00282 N
g) Potência média transmitida: ≈3,85 × 10⁻⁷ W
b) Frequência: ≈1,18 Hz
c) Comprimento de onda: ≈0,900 m
d) Velocidade da onda: ≈1,06 m/s
e) Sentido da propagação: sentido negativo do eixo x
f) Tensão na corda: ≈0,00282 N
g) Potência média transmitida: ≈3,85 × 10⁻⁷ W
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;
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e sua massa é
.
Mostre que as funções dadas nos itens (a) e (b) desta tarefa, chamadas de funções harmônicas, são soluções da equação de onda
desde que a relação
seja satisfeita. As constantes
e
são chamadas respectivamente de número de onda e frequência angular.
.
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?