Um colega estudante com queda para matemática the diz que a função de onda de uma onda progressiva em uma corda fina é:
y(x, t)=2.3 mm cos [(6,98 rad / m) x+(7,42 rad / s) t]
Sendo mais prático, você mede a corda para que ela tenha um comprimento de 1,35 m e uma massa de 0,00338 kg. Pede-se, então, que você calcule: a) amplitude; b) frequência; c) comprimento de onda; d) velocidade da onda; e) sentido em que a onda se desloca; f) tensão na corda; g) potência média transmitida pela onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a função de onda de uma corda fina, dada por:
y(x, t)=2.3 mm cos [(6,98 rad/m) x+(7,42 rad/s) t]
O conteúdo envolve ondas mecânicas em cordas, e vamos precisar entender conceitos como amplitude, frequência, comprimento de onda, velocidade da onda, direção de propagação, tensão na corda e potência transmitida. Vamos resolver passo a passo cada item solicitado.

Passo 2

a) Amplitude
A amplitude é a máxima deslocação das partículas da corda em relação à posição de equilíbrio. Basicamente, indica quão “forte” é a onda.
Na função de onda dada:
y(x, t)=2.3 mm cos [(6,98 rad/m) x+(7,42 rad/s) t]
A amplitude é o coeficiente que multiplica o cosseno, ou seja, 2,3 mm.

Passo 3

b) Frequência
A frequência é o número de oscilações que a onda realiza por segundo, medida em Hertz (Hz).
Na função de onda, o termo que está multiplicando o tempo omega = 7,42 rad/s é a frequência angular omega = 2pi f :
f = omega2pi = 7,422pi approx 1,18 Hz
A relação entre frequência angular e frequência é:
Então, isolando :

Passo 4

c) Comprimento de Onda
O comprimento de onda k = 6,98 rad/m é a distância entre dois pontos consecutivos da onda que estão em fase, como dois picos.
Na função de onda, o termo que multiplica k = 2pilambda é o número de onda lambda = 2pik = 2pi6,98 approx 0,900 m :
A relação entre e é:
Isolando :

Passo 5

d) Velocidade da Onda
A velocidade da onda v = lambda f é a rapidez com que a onda se propaga pela corda.
Sabemos que:
v = 0,900 times 1,18 approx 1,06 m/s
Já calculamos e , então:

Passo 6

e) Sentido em que a Onda se Desloca
A direção de propagação da onda pode ser determinada observando o sinal do termo que multiplica y(x, t)=2.3 mm cos (kx + omega t) na função de onda.
A função dada é:
Como o termo de está adicionado ( ), a onda se propaga no sentido negativo do eixo .

Passo 7

f) Tensão na Corda
A tensão v = raizTmu na corda pode ser encontrada usando a relação entre massa linear mu = massacomprimento = 0,00338 kg1,35 m approx 0,002506 kg/m , velocidade da onda T = mu v^2 = 0,002506 times (1,06)^2 approx 0,002506 times 1,1236 approx 0,00282 N e tensão:
Primeiro, calculamos a massa linear :
Rearranjando a fórmula para :

Passo 8

g) Potência Média Transmitida pela Onda
A potência média P = 12 mu omega^2 A^2 v transmitida pela onda é dada por:
P = 12 times 0,002506 times (7,42)^2 times (0,0023)^2 times 1,06
Já temos P = 0,001253 times 55,0564 times 5,29 times 10^-6 times 1,06 approx 0,001253 times 55,0564 times 5,29 times 10^-6 times 1,06 approx 3,85 times 10^-7 W , , e .
Substituindo:
Calculando passo a passo:

Resposta

a) Amplitude: 2,3 mm
b) Frequência: ≈1,18 Hz
c) Comprimento de onda: ≈0,900 m
d) Velocidade da onda: ≈1,06 m/s
e) Sentido da propagação: sentido negativo do eixo x
f) Tensão na corda: ≈0,00282 N
g) Potência média transmitida: ≈3,85 × 10⁻⁷ W

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