Um condutor cilíndrico muito longo de raio a, com seu eixo orientado ao longo do eixo z, suportado por discos isolantes, está no centro de um tubo também condutor, de raio interno b e raio externo c. O condutor interno possui uma densidade de corrente dada pela expressão
Por sua vez, o tubo transporta uma corrente de intensidade I uniformemente distribuída no tubo, porém de sentido contrário. Calcule o campo B nas regiões (b)
;
Passo 1
Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um condutor cilíndrico longo com raio
, com uma densidade de corrente
dada por:
Além disso, há um tubo condutor ao redor desse cilindro, com raio interno
e raio externo
, transportando uma corrente de intensidade
no sentido contrário. Queremos encontrar o campo magnético
na região onde
.
Vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Ampère, para resolver isso. Precisaremos calcular a corrente total que está dentro do nosso caminho de Ampère e então aplicar a Lei de Ampère para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Ampère. Ela nos diz que o caminho fechado da integral do campo magnético
ao longo de uma trajetória fechada é igual à permeabilidade magnética
vezes a corrente total
que atravessa a superfície delimitada por esse caminho:
Passo 3
Para aplicar a Lei de Ampère, precisamos escolher um caminho de integração que simplifique os cálculos. No caso de simetria cilíndrica, um círculo concêntrico com os condutores é a melhor escolha. Então, vamos considerar um círculo de raio
onde
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a corrente total
que está dentro desse círculo de raio
. Nessa região
, toda a corrente no condutor interno está dentro do nosso caminho de Ampère, mas a corrente no tubo externo está fora desse caminho, porque
.
Passo 5
Vamos calcular
, a corrente total dentro do raio
. A densidade de corrente
está dada, então podemos integrar
sobre a área do condutor interno:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Vamos substituir
, onde
varia de 0 a 1:
Passo 7
Calculando a integral:
Então,
Passo 8
Agora que temos
, vamos aplicar a Lei de Ampère. O caminho de integração é um círculo de raio
com simetria cilíndrica, então
tem a mesma magnitude em todos os pontos do círculo e é tangencial ao caminho.
Portanto, a integral se simplifica para:
Passo 9
Substituindo
:
Isolando
:
Resposta
O campo magnético na região
é dado por: