Em uma colisão elástica entre duas partículas de massas e as velocidades iniciais são e , sendo . Considere que as energias cinéticas iniciais das duas partículas sejam iguais. Dessa forma, determine as condições para as razões e para que a massa permaneça em repouso após a colisão. Resolva este problema para ambos os casos de e . Explicite todos os cálculos e ideias utilizados para resolver cada passagem.

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre uma colisão elástica entre duas partículas com massas e . As velocidades iniciais são e , sendo que . Além disso, as energias cinéticas iniciais das duas partículas são iguais. Nosso objetivo é descobrir as condições para as razões e de forma que a massa fique parada após a colisão. Vamos resolver isso para os casos em que e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que numa colisão elástica, tanto a conservação da quantidade de movimento quanto a conservação da energia cinética se aplicam. A quantidade de movimento é dada por:
E a energia cinética por:
Como queremos que fique em repouso após a colisão, temos que .

Passo 3

Substituindo na equação da conservação da quantidade de movimento:
Como , podemos substituir:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos à conservação da energia cinética. Com , temos:
Substituindo e da equação anterior:
Vamos simplificar ambos os lados:
Cancelando e multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Expandindo o lado direito:
Subtraindo de ambos os lados:
Subtraindo :
Fatorando :
Como , temos:
Simplificando:

Passo 6

Lembrando que , temos:

Passo 7

Agora, resumindo as condições encontradas:

Resposta

As condições para que a massa permaneça em repouso após a colisão são:
Essas condições devem ser satisfeitas tanto para quanto para .

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