Em uma colisão elástica entre duas partículas de massas
e
as velocidades iniciais são
e
, sendo
. Considere que as energias cinéticas iniciais das duas partículas sejam iguais. Dessa forma, determine as condições para as razões
e
para que a massa
permaneça em repouso após a colisão. Resolva este problema para ambos os casos de
e
. Explicite todos os cálculos e ideias utilizados para resolver cada passagem.
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre uma colisão elástica entre duas partículas com massas
e
. As velocidades iniciais são
e
, sendo que
. Além disso, as energias cinéticas iniciais das duas partículas são iguais. Nosso objetivo é descobrir as condições para as razões
e
de forma que a massa
fique parada após a colisão. Vamos resolver isso para os casos em que
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que numa colisão elástica, tanto a conservação da quantidade de movimento quanto a conservação da energia cinética se aplicam. A quantidade de movimento é dada por:
E a energia cinética por:
Como queremos que
fique em repouso após a colisão, temos que
.
Passo 3
Substituindo
na equação da conservação da quantidade de movimento:
Como
, podemos substituir:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos à conservação da energia cinética. Com
, temos:
Substituindo
e
da equação anterior:
Vamos simplificar ambos os lados:
Cancelando
e multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Expandindo o lado direito:
Subtraindo
de ambos os lados:
Subtraindo
:
Fatorando
:
Como
, temos:
Simplificando:
Passo 6
Lembrando que
, temos:
Passo 7
Agora, resumindo as condições encontradas:
Resposta
As condições para que a massa
permaneça em repouso após a colisão são:
Essas condições devem ser satisfeitas tanto para
quanto para
.