Em uma colisão elástica entre duas partículas de massas m1 e m2 as velocidades iniciais são v1 e v2, sendo v2=beta v1. Considere que as energias cinéticas iniciais das duas partículas sejam iguais. Dessa forma, determine as condições para as razões v1 / v2 e m1 / m2 para que a massa m1 permaneça em repouso após a colisão. Resolva este problema para ambos os casos de beta>0 e beta<0. Explicite todos os cálculos e ideias utilizados para resolver cada passagem.

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre uma colisão elástica entre duas partículas com massas e . As velocidades iniciais são e , sendo que . Além disso, as energias cinéticas iniciais das duas partículas são iguais. Nosso objetivo é descobrir as condições para as razões e de forma que a massa fique parada após a colisão. Vamos resolver isso para os casos em que e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que numa colisão elástica, tanto a conservação da quantidade de movimento quanto a conservação da energia cinética se aplicam. A quantidade de movimento é dada por:
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1' + m2 v2'
E a energia cinética por:
12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2 = 12 m1 v1'^2 + 12 m2 v2'^2
Como queremos que fique em repouso após a colisão, temos que .

Passo 3

Substituindo m1 v1 + m2 v2 = m2 v2' na equação da conservação da quantidade de movimento:
m1 v1 + m2 (beta v1) = m2 v2'
Como v2' = v1 ( m1 + m2 betam2 ) , podemos substituir:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos à conservação da energia cinética. Com 12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2 = 12 m2 v2'^2 , temos:
12 m1 v1^2 + 12 m2 (beta v1)^2 = 12 m2 ( v1 ( m1 + m2 betam2 ) )^2
Substituindo m1 v1^2 + m2 beta^2 v1^2 = m2 (m1 + m2 beta)^2m2^2 v1^2 e m1 m2 + m2^2 beta^2 = (m1 + m2 beta)^2 da equação anterior:
Vamos simplificar ambos os lados:
Cancelando e multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Expandindo o lado direito:
m1^2 + 2 m1 m2 beta + m2^2 beta^2 = m1 m2 + m2^2 beta^2
Subtraindo m1^2 + 2 m1 m2 beta = m1 m2 de ambos os lados:
m1^2 + 2 m1 m2 beta - m1 m2 = 0
Subtraindo m1 (m1 + 2 m2 beta - m2) = 0 :
m1 + 2 m2 beta - m2 = 0
Fatorando m1 = m2 - 2 m2 beta :
m1m2 = 1 - 2 beta
Como , temos:
Simplificando:

Passo 6

Lembrando que v1v2 = v1beta v1 = 1beta , temos:

Passo 7

Agora, resumindo as condições encontradas:
m1m2 = 1 - 2 beta e v1v2 = 1beta

Resposta

As condições para que a massa m1m2 = 1 - 2 beta e v1v2 = 1beta permaneça em repouso após a colisão são:
Essas condições devem ser satisfeitas tanto para quanto para .

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