Colisão no trânsito II: Um carro de massa igual a m1 trafega por uma rua e colide na traseira de um segundo carro de massa igual a m2=m1 / 2, que estava parado em sinal de trânsito. Sabendo que, imediatamente antes da colisão, a velocidade do carro 1 era de 72 km / h; que após a colisão os carros deslizam, com as rodas travadas, por uma região com coeficiente de atrito cinético igual a 0,5 e param após percorrerem as distâncias d1 e d2 e considerando que a colisão seja elástica, calcule as distâncias d1 e d2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema de colisão no trânsito! A gente tem dois carros: o primeiro tem massa e está viajando a 72 km/h, enquanto o segundo, que tem metade da massa do primeiro ( ), está parado no sinal. Quando eles colidem, a colisão é elástica, o que significa que tanto a energia cinética quanto o momento são conservados. Depois da colisão, os carros deslizam juntos com as rodas travadas até pararem devido ao atrito. Nosso objetivo é calcular as distâncias que cada carro percorre após a colisão, chamadas de e .

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade do carro 1 de km/h para m/s, porque é mais fácil trabalhar com essas unidades na física. Sabemos que:
1 , km/h = 1000 , m3600 , s approx 0,27778 , m/s
Então,
v1 = 72 , km/h times 0,27778 , m/skm/h approx 20 , m/s

Passo 3

Agora, vamos aplicar as leis da conservação do momento e da energia cinética para uma colisão elástica. As equações são:
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1' + m2 v2'
12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2 = 12 m1 v1'^2 + 12 m2 v2'^2
Como o carro 2 está parado antes da colisão ( m1 v1 = m1 v1' + m2 v2' ), as equações simplificam para:
m1 v1^2 = m1 v1'^2 + m2 v2'^2

Passo 4

Sabemos que m1 v1 = m1 v1' + m12 v2' , então podemos substituir isso nas equações:
m1 v1^2 = m1 v1'^2 + m12 v2'^2
v1 = v1' + 12 v2'
Podemos dividir ambas as equações por v1^2 = v1'^2 + 12 v2'^2 para simplificar:

Passo 5

Agora, vamos resolver essas duas equações para encontrar v1' = v1 - 12 v2' e v1^2 = ( v1 - 12 v2' )^2 + 12 v2'^2 . Da primeira equação:
v1^2 = v1^2 - v1 v2' + 14 v2'^2 + 12 v2'^2
Vamos substituir 0 = -v1 v2' + 34 v2'^2 na segunda equação:
v2' ( -v1 + 34 v2' ) = 0
Expandindo o quadrado:
v2' = 43 v1 = 43 times 20 , m/s = 803 , m/s approx 26,67 , m/s
Simplificando:
v1' = 20 , m/s - 12 times 26,67 , m/s = 20 - 13,33 = 6,67 , m/s
Factorizando :
Isso nos dá duas soluções: ou . A solução não faz sentido no contexto do problema, então:
Substituindo de volta na primeira equação para encontrar :

Passo 6

Agora que temos as velocidades após a colisão ( vf^2 = vi^2 + 2 a d e a = -muk g ), vamos calcular as distâncias que cada carro percorre até parar. Para isso, usamos a fórmula da cinemática que relaciona velocidade inicial, aceleração e distância:
a = -0,5 times 9,8 = -4,9 , m/s^2
Como os carros param, . A aceleração aqui é a aceleração de atrito, que pode ser calculada por:
Onde:
  • é o coeficiente de atrito cinético,
  • é a aceleração da gravidade.
Então,

Passo 7

Vamos calcular 0 = (6,67)^2 + 2 times (-4,9) times d1 para o primeiro carro, que tem velocidade 0 = 44,49 - 9,8 d1 :
9,8 d1 = 44,49
d1 = 44,499,8 approx 4,54 , m

Passo 8

Agora, vamos calcular 0 = (26,67)^2 + 2 times (-4,9) times d2 para o segundo carro, que tem velocidade 0 = 711,11 - 9,8 d2 :
9,8 d2 = 711,11
d2 = 711,119,8 approx 72,55 , m

Resposta

As distâncias percorridas pelos carros até pararem são aproximadamente:

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