Pêndulo balístico: É um dispositivo rústico utilizado por peritos para medir a velocidade de balas de armas de fogo. Consiste num bloco de madeira de massa M, suspenso por dois fios, de forma que possa oscilar como um pêndulo. Suponha que uma bala de massa m e com velocidade v, na horizontal, seja disparada contra o bloco e penetre nele fazendo-o subir de uma altura h. Considerando desprezível a resistência do ar, encontre a velocidade da bala em termos de m, M, h e g. Considere agora m=10 g, M=4 kg e h=5 cm, qual o valor de v?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre pêndulo balístico, que faz parte da física, especificamente na área de cinemática e conservação de momentum. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de conservação do momento linear e conservação da energia mecânica. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando a bala atinge o bloco de madeira. A bala com massa e velocidade colide e fica presa no bloco de massa . Após a colisão, os dois (bala + bloco) vão se mover juntos com uma velocidade desconhecida. Para achar , vamos usar a conservação do momento linear.

Passo 3

A conservação do momento linear diz que, em um sistema sem forças externas, o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão. Matemáticamente, isso fica:
m cdot v = (M + m) cdot V
Aqui, o momento antes da colisão é apenas da bala, já que o bloco está parado. Queremos encontrar V = m cdot vM + m :

Passo 4

Agora que temos Ecin = 12 (M + m) V^2 , vamos ver o que acontece depois da colisão. O bloco e a bala v��o subir até uma altura Epot = (M + m) g h . Nesse processo, a energia cinética do sistema vai se transformar em energia potencial gravitacional. Vamos usar a conservação da energia mecânica para relacionar essas duas energias.
A energia cinética logo após a colisão é:
12 (M + m) V^2 = (M + m) g h
A energia potencial no ponto mais alto é:
12 V^2 = g h
Igualando as duas energias:
V = raiz2 g h
Podemos simplificar dos dois lados:
Dessa forma, podemos encontrar :

Passo 5

Agora, temos duas expressões para m cdot vM + m = raiz2 g h . Vamos igualá-las para encontrar a velocidade inicial da bala v = (M + m) raiz2 g hm :
Resolvendo para :

Passo 6

Vamos agora substituir os valores numéricos fornecidos no problema:
  • v = (4 + 0,01) cdot raiz2 cdot 9,8 cdot 0,050,01
Substituindo na fórmula:

Passo 7

Vamos calcular passo a passo:
  1. Soma das massas:
4 + 0,01 = 4,01 , kg
  1. Calculando dentro da raiz:
2 cdot 9,8 cdot 0,05 = 0,98
  1. Raiz quadrada:
raiz0,98 approx 0,99 , m/s
  1. Multiplicando pela soma das massas:
4,01 cdot 0,99 approx 3,97 , kg⋅m/s
  1. Dividindo pela massa da bala:
3,970,01 = 397 , m/s

Resposta

A velocidade da bala é aproximadamente .

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